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Sagot :
Para determinar el área encerrada por la función [tex]\( f(x) = 4 - x^2 \)[/tex] y el eje [tex]\( x \)[/tex], se deben seguir varios pasos. A continuación, se muestra el procedimiento detallado:
### 1. Encontrar los puntos de intersección con el eje [tex]\( x \)[/tex]
Primero, encontramos los puntos donde la función se cruza con el eje [tex]\( x \)[/tex]. Esto se logra resolviendo la ecuación [tex]\( f(x) = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ 4 - x^2 = 0 \][/tex]
Resolviendo para [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ x^2 = 4 \][/tex]
[tex]\[ x = \pm 2 \][/tex]
Entonces, los puntos de intersección son [tex]\( x = -2 \)[/tex] y [tex]\( x = 2 \)[/tex].
### 2. Formular la integral definida
Tenemos que integrar la función [tex]\( f(x) \)[/tex] desde [tex]\( x = -2 \)[/tex] hasta [tex]\( x = 2 \)[/tex] para encontrar el área bajo la curva:
[tex]\[ \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx \][/tex]
### 3. Calcular la integral
Dividimos la integral en términos conocidos:
[tex]\[ \int_{-2}^{2} 4 \, dx - \int_{-2}^{2} x^2 \, dx \][/tex]
Ahora calculamos cada parte por separado.
#### Integral de [tex]\( 4 \)[/tex]:
[tex]\[ \int_{-2}^{2} 4 \, dx = 4 \left[ x \right]_{-2}^{2} = 4 \left( 2 - (-2) \right) = 4 \times 4 = 16 \][/tex]
#### Integral de [tex]\( x^2 \)[/tex]:
[tex]\[ \int_{-2}^{2} x^2 \, dx \][/tex]
Para resolver esta integral, utilizamos la fórmula:
[tex]\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \][/tex]
Aplicando esta fórmula:
[tex]\[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C \][/tex]
Evaluamos en los límites dados:
[tex]\[ \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} = \left( \frac{2^3}{3} \right) - \left( \frac{(-2)^3}{3} \right) = \frac{8}{3} - \left( \frac{-8}{3} \right) = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{16}{3} \][/tex]
### 4. Restar los resultados de las integrales
Finalmente, restamos los valores obtenidos:
[tex]\[ \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx = 16 - \frac{16}{3} \][/tex]
Llevamos a común denominador:
[tex]\[ 16 - \frac{16}{3} = \frac{48}{3} - \frac{16}{3} = \frac{32}{3} \][/tex]
### 5. Resultado final
Por lo tanto, el área encerrada por la función [tex]\( f(x) = 4 - x^2 \)[/tex] y el eje [tex]\( x \)[/tex] es:
[tex]\[ \frac{32}{3} \approx 10.666666666666668 \][/tex]
Este es el valor del área bajo la curva entre [tex]\( x = -2 \)[/tex] y [tex]\( x = 2 \)[/tex].
### 1. Encontrar los puntos de intersección con el eje [tex]\( x \)[/tex]
Primero, encontramos los puntos donde la función se cruza con el eje [tex]\( x \)[/tex]. Esto se logra resolviendo la ecuación [tex]\( f(x) = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ 4 - x^2 = 0 \][/tex]
Resolviendo para [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ x^2 = 4 \][/tex]
[tex]\[ x = \pm 2 \][/tex]
Entonces, los puntos de intersección son [tex]\( x = -2 \)[/tex] y [tex]\( x = 2 \)[/tex].
### 2. Formular la integral definida
Tenemos que integrar la función [tex]\( f(x) \)[/tex] desde [tex]\( x = -2 \)[/tex] hasta [tex]\( x = 2 \)[/tex] para encontrar el área bajo la curva:
[tex]\[ \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx \][/tex]
### 3. Calcular la integral
Dividimos la integral en términos conocidos:
[tex]\[ \int_{-2}^{2} 4 \, dx - \int_{-2}^{2} x^2 \, dx \][/tex]
Ahora calculamos cada parte por separado.
#### Integral de [tex]\( 4 \)[/tex]:
[tex]\[ \int_{-2}^{2} 4 \, dx = 4 \left[ x \right]_{-2}^{2} = 4 \left( 2 - (-2) \right) = 4 \times 4 = 16 \][/tex]
#### Integral de [tex]\( x^2 \)[/tex]:
[tex]\[ \int_{-2}^{2} x^2 \, dx \][/tex]
Para resolver esta integral, utilizamos la fórmula:
[tex]\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \][/tex]
Aplicando esta fórmula:
[tex]\[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C \][/tex]
Evaluamos en los límites dados:
[tex]\[ \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} = \left( \frac{2^3}{3} \right) - \left( \frac{(-2)^3}{3} \right) = \frac{8}{3} - \left( \frac{-8}{3} \right) = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{16}{3} \][/tex]
### 4. Restar los resultados de las integrales
Finalmente, restamos los valores obtenidos:
[tex]\[ \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx = 16 - \frac{16}{3} \][/tex]
Llevamos a común denominador:
[tex]\[ 16 - \frac{16}{3} = \frac{48}{3} - \frac{16}{3} = \frac{32}{3} \][/tex]
### 5. Resultado final
Por lo tanto, el área encerrada por la función [tex]\( f(x) = 4 - x^2 \)[/tex] y el eje [tex]\( x \)[/tex] es:
[tex]\[ \frac{32}{3} \approx 10.666666666666668 \][/tex]
Este es el valor del área bajo la curva entre [tex]\( x = -2 \)[/tex] y [tex]\( x = 2 \)[/tex].
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