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Sagot :
Primero, vamos a determinar cuáles de los siguientes conjuntos de pares ordenados representan una función.
### Parte 1: Determinación de si los conjuntos son funciones
Para cada conjunto de pares ordenados, revisamos si existe algún valor de [tex]$x$[/tex] que se repita con diferentes valores de [tex]$y$[/tex]. Recordemos que una función es una relación en la que a cada valor de [tex]$x$[/tex] le corresponde exactamente un valor de [tex]$y$[/tex].
#### Conjunto a: [tex]$(-2, 8), (-1, 6), (0, 4), (-1, 2), (2, 0)$[/tex]
Para el conjunto a, los valores de [tex]$x$[/tex] son: [tex]$-2, -1, 0, -1, 2$[/tex]. Aquí, podemos ver que el valor [tex]$-1$[/tex] se repite, y tiene dos diferentes valores de [tex]$y$[/tex] asociados: [tex]$( -1, 6 )$[/tex] y [tex]$( -1, 2 )$[/tex]. Por tanto, este conjunto no es una función.
#### Conjunto b: [tex]$(7, 5), (9, 9), (11, 9), (13, 5)$[/tex]
Para el conjunto b, los valores de [tex]$x$[/tex] son: [tex]$7, 9, 11, 13$[/tex]. Ningún valor de [tex]$x$[/tex] se repite, así que este conjunto es una función.
#### Conjunto c: [tex]$(-5, 0), (-4, 3), (-3, 6)$[/tex]
Para el conjunto c, los valores de [tex]$x$[/tex] son: [tex]$-5, -4, -3$[/tex]. Tampoco hay valores de [tex]$x$[/tex] que se repitan, así que este conjunto es una función.
### Parte 2: Determinar el dominio y el rango
A continuación, vamos a encontrar el dominio y el rango de cada función.
#### Función h: [tex]$\{(-5, 9), (-4, 6), (-3, 3), (-2, 0), (-1, 3)\}$[/tex]
- Dominio: Conjunto de todos los valores de [tex]$x$[/tex]: [tex]$-5, -4, -3, -2, -1$[/tex]. Por lo tanto, el dominio de [tex]$h$[/tex] es [tex]$\{-5, -4, -3, -2, -1\}$[/tex].
- Rango: Conjunto de todos los valores de [tex]$y$[/tex]: [tex]$9, 6, 3, 0, 3$[/tex]. Al eliminar los valores repetidos, obtenemos [tex]$\{9, 6, 3, 0\}$[/tex].
#### Función i: [tex]$\{(0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4)\}$[/tex]
- Dominio: Conjunto de todos los valores de [tex]$x$[/tex]: [tex]$0, 1, 2, 3$[/tex]. El dominio de [tex]$i$[/tex] es [tex]$\{0, 1, 2, 3\}$[/tex].
- Rango: Conjunto de todos los valores de [tex]$y$[/tex]: [tex]$1, 2, 3, 4$[/tex]. Por tanto, el rango de [tex]$i$[/tex] es [tex]$\{1, 2, 3, 4\}$[/tex].
#### Función t:
\begin{tabular}{c|c}
\hline [tex]$x$[/tex] & y \\
\hline-2 & -4 \\
-1 & -1 \\
0 & 2 \\
1 & 5 \\
2 & 8 \\
\hline
\end{tabular}
- Dominio: Conjunto de todos los valores de [tex]$x$[/tex]: [tex]$-2, -1, 0, 1, 2$[/tex]. El dominio de [tex]$t$[/tex] es [tex]$\{-2, -1, 0, 1, 2\}$[/tex].
- Rango: Conjunto de todos los valores de [tex]$y$[/tex]: [tex]$-4, -1, 2, 5, 8$[/tex]. Por tanto, el rango de [tex]$t$[/tex] es [tex]$\{-4, -1, 2, 5, 8\}$[/tex].
### Resumen de los resultados
1. Conjuntos y su determinación como funciones:
- Conjunto a: No es una función.
- Conjunto b: Es una función.
- Conjunto c: Es una función.
2. Dominio y rango de las funciones:
- Función [tex]$h$[/tex]: Dominio [tex]$\{-5, -4, -3, -2, -1\}$[/tex], Rango [tex]$\{0, 9, 3, 6\}$[/tex].
- Función [tex]$i$[/tex]: Dominio [tex]$\{0, 1, 2, 3\}$[/tex], Rango [tex]$\{1, 2, 3, 4\}$[/tex].
- Función [tex]$t$[/tex]: Dominio [tex]$\{-2, -1, 0, 1, 2\}$[/tex], Rango [tex]$\{2, 5, 8, -4, -1\}$[/tex].
### Parte 1: Determinación de si los conjuntos son funciones
Para cada conjunto de pares ordenados, revisamos si existe algún valor de [tex]$x$[/tex] que se repita con diferentes valores de [tex]$y$[/tex]. Recordemos que una función es una relación en la que a cada valor de [tex]$x$[/tex] le corresponde exactamente un valor de [tex]$y$[/tex].
#### Conjunto a: [tex]$(-2, 8), (-1, 6), (0, 4), (-1, 2), (2, 0)$[/tex]
Para el conjunto a, los valores de [tex]$x$[/tex] son: [tex]$-2, -1, 0, -1, 2$[/tex]. Aquí, podemos ver que el valor [tex]$-1$[/tex] se repite, y tiene dos diferentes valores de [tex]$y$[/tex] asociados: [tex]$( -1, 6 )$[/tex] y [tex]$( -1, 2 )$[/tex]. Por tanto, este conjunto no es una función.
#### Conjunto b: [tex]$(7, 5), (9, 9), (11, 9), (13, 5)$[/tex]
Para el conjunto b, los valores de [tex]$x$[/tex] son: [tex]$7, 9, 11, 13$[/tex]. Ningún valor de [tex]$x$[/tex] se repite, así que este conjunto es una función.
#### Conjunto c: [tex]$(-5, 0), (-4, 3), (-3, 6)$[/tex]
Para el conjunto c, los valores de [tex]$x$[/tex] son: [tex]$-5, -4, -3$[/tex]. Tampoco hay valores de [tex]$x$[/tex] que se repitan, así que este conjunto es una función.
### Parte 2: Determinar el dominio y el rango
A continuación, vamos a encontrar el dominio y el rango de cada función.
#### Función h: [tex]$\{(-5, 9), (-4, 6), (-3, 3), (-2, 0), (-1, 3)\}$[/tex]
- Dominio: Conjunto de todos los valores de [tex]$x$[/tex]: [tex]$-5, -4, -3, -2, -1$[/tex]. Por lo tanto, el dominio de [tex]$h$[/tex] es [tex]$\{-5, -4, -3, -2, -1\}$[/tex].
- Rango: Conjunto de todos los valores de [tex]$y$[/tex]: [tex]$9, 6, 3, 0, 3$[/tex]. Al eliminar los valores repetidos, obtenemos [tex]$\{9, 6, 3, 0\}$[/tex].
#### Función i: [tex]$\{(0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4)\}$[/tex]
- Dominio: Conjunto de todos los valores de [tex]$x$[/tex]: [tex]$0, 1, 2, 3$[/tex]. El dominio de [tex]$i$[/tex] es [tex]$\{0, 1, 2, 3\}$[/tex].
- Rango: Conjunto de todos los valores de [tex]$y$[/tex]: [tex]$1, 2, 3, 4$[/tex]. Por tanto, el rango de [tex]$i$[/tex] es [tex]$\{1, 2, 3, 4\}$[/tex].
#### Función t:
\begin{tabular}{c|c}
\hline [tex]$x$[/tex] & y \\
\hline-2 & -4 \\
-1 & -1 \\
0 & 2 \\
1 & 5 \\
2 & 8 \\
\hline
\end{tabular}
- Dominio: Conjunto de todos los valores de [tex]$x$[/tex]: [tex]$-2, -1, 0, 1, 2$[/tex]. El dominio de [tex]$t$[/tex] es [tex]$\{-2, -1, 0, 1, 2\}$[/tex].
- Rango: Conjunto de todos los valores de [tex]$y$[/tex]: [tex]$-4, -1, 2, 5, 8$[/tex]. Por tanto, el rango de [tex]$t$[/tex] es [tex]$\{-4, -1, 2, 5, 8\}$[/tex].
### Resumen de los resultados
1. Conjuntos y su determinación como funciones:
- Conjunto a: No es una función.
- Conjunto b: Es una función.
- Conjunto c: Es una función.
2. Dominio y rango de las funciones:
- Función [tex]$h$[/tex]: Dominio [tex]$\{-5, -4, -3, -2, -1\}$[/tex], Rango [tex]$\{0, 9, 3, 6\}$[/tex].
- Función [tex]$i$[/tex]: Dominio [tex]$\{0, 1, 2, 3\}$[/tex], Rango [tex]$\{1, 2, 3, 4\}$[/tex].
- Función [tex]$t$[/tex]: Dominio [tex]$\{-2, -1, 0, 1, 2\}$[/tex], Rango [tex]$\{2, 5, 8, -4, -1\}$[/tex].
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