Para resolver la ecuación [tex]\( 4 - x = \sqrt{x^2 - 8} \)[/tex], seguiremos estos pasos:
1. Elevar ambos lados al cuadrado:
Para eliminar la raíz cuadrada, elevamos ambos lados de la ecuación al cuadrado, asegurándonos de considerar ambas soluciones posibles (positiva y negativa) al final, si es necesario.
[tex]\[
(4 - x)^2 = (\sqrt{x^2 - 8})^2
\][/tex]
Simplificamos la derecha al eliminar la raíz cuadrada:
[tex]\[
(4 - x)^2 = x^2 - 8
\][/tex]
2. Expandir los términos:
Expandimos [tex]\( (4 - x)^2 \)[/tex] usando el binomio cuadrado:
[tex]\[
(4 - x)^2 = 16 - 8x + x^2
\][/tex]
Entonces nuestra ecuación se convierte en:
[tex]\[
16 - 8x + x^2 = x^2 - 8
\][/tex]
3. Simplificar la ecuación:
Restamos [tex]\( x^2 \)[/tex] de ambos lados de la ecuación para eliminar los términos cuadráticos:
[tex]\[
16 - 8x = -8
\][/tex]
4. Resolver para [tex]\( x \)[/tex]:
Ahora, sumamos 8 a ambos lados para aislar el término lineal:
[tex]\[
16 - 8x + 8 = 0 \\
24 - 8x = 0
\][/tex]
Sumamos 8x a ambos lados para alinear el término [tex]\( x \)[/tex] positivo:
[tex]\[
8x = 24
\][/tex]
Finalmente, dividimos ambos lados entre 8 para resolver para [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[
x = 3
\][/tex]
5. Verificación de la solución:
Es importante verificar que la solución satisface la ecuación original. Sustituimos [tex]\( x = 3 \)[/tex] de vuelta en la ecuación inicial:
[tex]\[
4 - 3 = \sqrt{3^2 - 8}
\][/tex]
Simplificamos ambos lados:
[tex]\[
1 = \sqrt{9 - 8} \\
1 = \sqrt{1} \\
1 = 1
\][/tex]
La igualdad es correcta, por lo tanto, la solución es válida.
Por lo tanto, la solución de la ecuación [tex]\( 4 - x = \sqrt{x^2 - 8} \)[/tex] es:
[tex]\[
x = 3
\][/tex]
