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Sagot :
¡Claro! Vamos a analizar la función [tex]\( f(x) = \left|x^2 - 25\right| + 1 \)[/tex] paso a paso.
### 1. Dominio:
El dominio de una función corresponde a todos los valores de [tex]\( x \)[/tex] para los cuales la función está definida.
Para la función [tex]\( f(x) = \left|x^2 - 25\right| + 1 \)[/tex]:
- No hay restricciones al valor de [tex]\( x \)[/tex], ya que podemos calcular el valor absoluto para cualquier [tex]\( x \)[/tex] y sumarle 1.
Por lo tanto, el dominio de la función es:
[tex]\[ \text{Dominio} = \mathbb{R} \ (\text{todos los números reales}) \][/tex]
### 2. Rango:
El rango corresponde a todos los valores posibles de [tex]\( f(x) \)[/tex].
Para [tex]\( f(x) = \left|x^2 - 25\right| + 1 \)[/tex]:
- El término [tex]\( \left|x^2 - 25\right| \)[/tex] es siempre mayor o igual a 0.
- El valor mínimo de [tex]\( \left|x^2 - 25\right| \)[/tex] ocurre cuando [tex]\( x^2 - 25 = 0 \)[/tex], es decir, cuando [tex]\( x = \pm 5 \)[/tex]. En este caso, [tex]\( \left|x^2 - 25\right| = 0 \)[/tex] y, por lo tanto, [tex]\( f(5) = f(-5) = 0 + 1 = 1 \)[/tex].
A medida que [tex]\( x \)[/tex] se aleja de [tex]\( \pm 5 \)[/tex], [tex]\( x^2 - 25 \)[/tex] se vuelve cada vez más grande en valor absoluto, por lo que [tex]\( \left|x^2 - 25\right| \)[/tex] también se hace más grande y [tex]\( f(x) \)[/tex] puede tomar valores arbitrariamente grandes.
Así, el valor mínimo de [tex]\( f(x) \)[/tex] es 1 (cuando [tex]\( x = \pm 5 \)[/tex]) y no hay un valor máximo. Entonces, el rango es:
[tex]\[ \text{Rango} = [1, \infty) \][/tex]
### 3. Gráfica:
Para graficar [tex]\( f(x) = \left|x^2 - 25\right| + 1 \)[/tex], procedemos a evaluar algunos puntos notables y observar el comportamiento de la función.
1. Punto central y los mínimos locales:
- [tex]\( x = 5 \)[/tex] y [tex]\( x = -5 \)[/tex] tienen [tex]\( f(5) = f(-5) = 1 \)[/tex].
2. Comportamiento en otros puntos notables:
- Para [tex]\( x = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ f(0) = \left|0^2 - 25\right| + 1 = 25 + 1 = 26 \][/tex]
- Para [tex]\( x = 10 \)[/tex]:
[tex]\[ f(10) = \left|10^2 - 25\right| + 1 = \left|100 - 25\right| + 1 = 75 + 1 = 76 \][/tex]
- Para [tex]\( x = -10 \)[/tex]:
[tex]\[ f(-10) = \left|(-10)^2 - 25\right| + 1 = \left|100 - 25\right| + 1 = 75 + 1 = 76 \][/tex]
3. Comportamiento general:
- Para valores de [tex]\( x \)[/tex] grandes positivos o grandes negativos, [tex]\( \left|x^2 - 25\right| \)[/tex] aumenta, y por lo tanto [tex]\( f(x) \)[/tex] también aumenta.
Los puntos calculados y la naturaleza creciente para valores absolutos mayores muestran la forma general:
+-----------------------+
| y |
76| .... |
75| |
50| . . |
26| . |
1 |_____ _______|________|_|
-10 -5 0 5 10
x
De esta manera, la gráfica de [tex]\( f(x) = \left|x^2 - 25\right| + 1 \)[/tex] se asemeja a dos parábolas unidas por el punto más bajo en [tex]\( (5, 1) \)[/tex] y [tex]\( (-5, 1) \)[/tex] y aumentan hacia el infinito en ambos extremos.
### 1. Dominio:
El dominio de una función corresponde a todos los valores de [tex]\( x \)[/tex] para los cuales la función está definida.
Para la función [tex]\( f(x) = \left|x^2 - 25\right| + 1 \)[/tex]:
- No hay restricciones al valor de [tex]\( x \)[/tex], ya que podemos calcular el valor absoluto para cualquier [tex]\( x \)[/tex] y sumarle 1.
Por lo tanto, el dominio de la función es:
[tex]\[ \text{Dominio} = \mathbb{R} \ (\text{todos los números reales}) \][/tex]
### 2. Rango:
El rango corresponde a todos los valores posibles de [tex]\( f(x) \)[/tex].
Para [tex]\( f(x) = \left|x^2 - 25\right| + 1 \)[/tex]:
- El término [tex]\( \left|x^2 - 25\right| \)[/tex] es siempre mayor o igual a 0.
- El valor mínimo de [tex]\( \left|x^2 - 25\right| \)[/tex] ocurre cuando [tex]\( x^2 - 25 = 0 \)[/tex], es decir, cuando [tex]\( x = \pm 5 \)[/tex]. En este caso, [tex]\( \left|x^2 - 25\right| = 0 \)[/tex] y, por lo tanto, [tex]\( f(5) = f(-5) = 0 + 1 = 1 \)[/tex].
A medida que [tex]\( x \)[/tex] se aleja de [tex]\( \pm 5 \)[/tex], [tex]\( x^2 - 25 \)[/tex] se vuelve cada vez más grande en valor absoluto, por lo que [tex]\( \left|x^2 - 25\right| \)[/tex] también se hace más grande y [tex]\( f(x) \)[/tex] puede tomar valores arbitrariamente grandes.
Así, el valor mínimo de [tex]\( f(x) \)[/tex] es 1 (cuando [tex]\( x = \pm 5 \)[/tex]) y no hay un valor máximo. Entonces, el rango es:
[tex]\[ \text{Rango} = [1, \infty) \][/tex]
### 3. Gráfica:
Para graficar [tex]\( f(x) = \left|x^2 - 25\right| + 1 \)[/tex], procedemos a evaluar algunos puntos notables y observar el comportamiento de la función.
1. Punto central y los mínimos locales:
- [tex]\( x = 5 \)[/tex] y [tex]\( x = -5 \)[/tex] tienen [tex]\( f(5) = f(-5) = 1 \)[/tex].
2. Comportamiento en otros puntos notables:
- Para [tex]\( x = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ f(0) = \left|0^2 - 25\right| + 1 = 25 + 1 = 26 \][/tex]
- Para [tex]\( x = 10 \)[/tex]:
[tex]\[ f(10) = \left|10^2 - 25\right| + 1 = \left|100 - 25\right| + 1 = 75 + 1 = 76 \][/tex]
- Para [tex]\( x = -10 \)[/tex]:
[tex]\[ f(-10) = \left|(-10)^2 - 25\right| + 1 = \left|100 - 25\right| + 1 = 75 + 1 = 76 \][/tex]
3. Comportamiento general:
- Para valores de [tex]\( x \)[/tex] grandes positivos o grandes negativos, [tex]\( \left|x^2 - 25\right| \)[/tex] aumenta, y por lo tanto [tex]\( f(x) \)[/tex] también aumenta.
Los puntos calculados y la naturaleza creciente para valores absolutos mayores muestran la forma general:
+-----------------------+
| y |
76| .... |
75| |
50| . . |
26| . |
1 |_____ _______|________|_|
-10 -5 0 5 10
x
De esta manera, la gráfica de [tex]\( f(x) = \left|x^2 - 25\right| + 1 \)[/tex] se asemeja a dos parábolas unidas por el punto más bajo en [tex]\( (5, 1) \)[/tex] y [tex]\( (-5, 1) \)[/tex] y aumentan hacia el infinito en ambos extremos.
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