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2. Se dispara una bala de 50 kg desde un cañón situado en la superficie de la Tierra, y alcanza una altura de [tex]4 \times 10^2 \, \text{m}[/tex].

a) ¿Cuál es la energía potencial gravitacional del sistema Tierra-bala respecto a la superficie de la Tierra cuando la bala alcanza su máxima altura?

b) ¿Cuánta energía potencial le queda al sistema cuando la bala cae a una altura de [tex]2 \times 10^2 \, \text{m}[/tex]?

Sagot :

GinnyAnswer
Claro, vamos a resolver este problema paso a paso.

### Parte a) Cálculo de la energía potencial gravitacional en la altura máxima

Primero, necesitamos recordar la fórmula para la energía potencial gravitacional ([tex]\( E_p \)[/tex]) que es:

[tex]\[ E_p = m \cdot g \cdot h \][/tex]

donde:
- [tex]\( m \)[/tex] es la masa del objeto (en este caso, la bala),
- [tex]\( g \)[/tex] es la aceleración debido a la gravedad, y
- [tex]\( h \)[/tex] es la altura sobre la cual estamos calculando la energía potencial.

Dado:
- Masa de la bala, [tex]\( m = 50 \)[/tex] kg
- Aceleración debido a la gravedad, [tex]\( g = 9.81 \)[/tex] [tex]\(\text{m/s}^2\)[/tex]
- Altura máxima alcanzada por la bala, [tex]\( h = 4 \times 10^2 \)[/tex] m

Usamos estos valores en la fórmula de la energía potencial:

[tex]\[ E_{p, \text{max}} = 50 \, \text{kg} \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 400 \, \text{m} \][/tex]

Esto nos da:

[tex]\[ E_{p, \text{max}} = 196200 \, \text{J} \][/tex]

Así que, la energía potencial gravitacional del sistema Tierra-bala respecto a la superficie de la Tierra cuando la bala alcanza su máxima altura es de 196200 J.

### Parte b) Cálculo de la energía potencial gravitacional a una altura media

Ahora, necesitamos calcular la energía potencial gravitacional cuando la bala está a una altura intermedia de [tex]\( 2 \times 10^2 \)[/tex] m.

Usamos la misma fórmula de energía potencial:

[tex]\[ E_p = m \cdot g \cdot h \][/tex]

Dado:
- Masa de la bala, [tex]\( m = 50 \)[/tex] kg
- Aceleración debido a la gravedad, [tex]\( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \)[/tex]
- Altura intermedia, [tex]\( h = 2 \times 10^2 \)[/tex] m

Usamos estos valores en la fórmula de la energía potencial:

[tex]\[ E_{p, \text{mid}} = 50 \, \text{kg} \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 200 \, \text{m} \][/tex]

Esto nos da:

[tex]\[ E_{p, \text{mid}} = 98100 \, \text{J} \][/tex]

Así que, la energía potencial gravitacional del sistema Tierra-bala respecto a la superficie de la Tierra cuando la bala alcanza la altura intermedia de 200 m es de 98100 J.

Resumiendo:
- La energía potencial a la altura máxima de 400 m es de 196200 J.
- La energía potencial a la altura intermedia de 200 m es de 98100 J.
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