Claro, resolveremos la inecuación cuadrática [tex]\(6x^2 + 7x \leq 3\)[/tex] paso a paso.
1. Reescribir la inecuación en forma estándar:
Primero, llevamos todos los términos al mismo lado para que la inecuación tenga la forma estándar [tex]\(ax^2 + bx + c \leq 0\)[/tex]:
[tex]\[
6x^2 + 7x - 3 \leq 0
\][/tex]
2. Encontrar las raíces de la ecuación cuadrática asociada:
Necesitamos resolver la ecuación [tex]\(6x^2 + 7x - 3 = 0\)[/tex] para encontrar los puntos críticos. Esto se hace usando la fórmula cuadrática:
[tex]\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\][/tex]
Donde [tex]\(a = 6\)[/tex], [tex]\(b = 7\)[/tex] y [tex]\(c = -3\)[/tex]. Sustituimos estos valores en la fórmula cuadrática:
[tex]\[
x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3)}}{2 \cdot 6}
\][/tex]
[tex]\[
x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 72}}{12}
\][/tex]
[tex]\[
x = \frac{-7 \pm \sqrt{121}}{12}
\][/tex]
[tex]\[
x = \frac{-7 \pm 11}{12}
\][/tex]
Esto nos da dos soluciones:
[tex]\[
x_1 = \frac{-7 + 11}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}
\][/tex]
[tex]\[
x_2 = \frac{-7 - 11}{12} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2}
\][/tex]
3. Determinar los intervalos para la inecuación:
Las raíces dividen la recta real en tres intervalos. Debemos probar un punto de cada intervalo para ver en cuál(es) se satisface la inecuación [tex]\(6x^2 + 7x - 3 \leq 0\)[/tex]:
- Intervalo [tex]\( (-\infty, -\frac{3}{2}) \)[/tex]
- Intervalo [tex]\( (-\frac{3}{2}, \frac{1}{3}) \)[/tex]
- Intervalo [tex]\( (\frac{1}{3}, \infty) \)[/tex]
4. Evaluar en cada intervalo:
- Para [tex]\(x\)[/tex] en [tex]\((- \infty, -\frac{3}{2})\)[/tex]:
Tomemos [tex]\(x = -2\)[/tex]:
[tex]\[
6(-2)^2 + 7(-2) - 3 = 24 - 14 - 3 = 7 \quad (\text{no satisface la inecuación})
\][/tex]
- Para [tex]\(x\)[/tex] en [tex]\((- \frac{3}{2}, \frac{1}{3})\)[/tex]:
Tomemos [tex]\(x = 0\)[/tex]:
[tex]\[
6(0)^2 + 7(0) - 3 = -3 \quad (\text{satisface la inecuación})
\][/tex]
- Para [tex]\(x\)[/tex] en [tex]\((\frac{1}{3}, \infty)\)[/tex]:
Tomemos [tex]\(x = 1\)[/tex]:
[tex]\[
6(1)^2 + 7(1) - 3 = 6 + 7 - 3 = 10 \quad (\text{no satisface la inecuación})
\][/tex]
5. Conclusión:
La inecuación [tex]\(6x^2 + 7x \leq 3\)[/tex] se satisface en el intervalo [tex]\([-\frac{3}{2}, \frac{1}{3}]\)[/tex], incluyendo los extremos ya que la inecuación es "menor o igual".
Por lo tanto, la solución de la inecuación es:
[tex]\[
\boxed{\left[ -\frac{3}{2}, \frac{1}{3} \right]}
\][/tex]
