Welcome to Westonci.ca, the Q&A platform where your questions are met with detailed answers from experienced experts. Discover precise answers to your questions from a wide range of experts on our user-friendly Q&A platform. Join our platform to connect with experts ready to provide precise answers to your questions in different areas.
Sagot :
Claro, resolveremos la inecuación cuadrática [tex]\(6x^2 + 7x \leq 3\)[/tex] paso a paso.
1. Reescribir la inecuación en forma estándar:
Primero, llevamos todos los términos al mismo lado para que la inecuación tenga la forma estándar [tex]\(ax^2 + bx + c \leq 0\)[/tex]:
[tex]\[ 6x^2 + 7x - 3 \leq 0 \][/tex]
2. Encontrar las raíces de la ecuación cuadrática asociada:
Necesitamos resolver la ecuación [tex]\(6x^2 + 7x - 3 = 0\)[/tex] para encontrar los puntos críticos. Esto se hace usando la fórmula cuadrática:
[tex]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
Donde [tex]\(a = 6\)[/tex], [tex]\(b = 7\)[/tex] y [tex]\(c = -3\)[/tex]. Sustituimos estos valores en la fórmula cuadrática:
[tex]\[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3)}}{2 \cdot 6} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 72}}{12} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{121}}{12} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-7 \pm 11}{12} \][/tex]
Esto nos da dos soluciones:
[tex]\[ x_1 = \frac{-7 + 11}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \][/tex]
[tex]\[ x_2 = \frac{-7 - 11}{12} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2} \][/tex]
3. Determinar los intervalos para la inecuación:
Las raíces dividen la recta real en tres intervalos. Debemos probar un punto de cada intervalo para ver en cuál(es) se satisface la inecuación [tex]\(6x^2 + 7x - 3 \leq 0\)[/tex]:
- Intervalo [tex]\( (-\infty, -\frac{3}{2}) \)[/tex]
- Intervalo [tex]\( (-\frac{3}{2}, \frac{1}{3}) \)[/tex]
- Intervalo [tex]\( (\frac{1}{3}, \infty) \)[/tex]
4. Evaluar en cada intervalo:
- Para [tex]\(x\)[/tex] en [tex]\((- \infty, -\frac{3}{2})\)[/tex]:
Tomemos [tex]\(x = -2\)[/tex]:
[tex]\[ 6(-2)^2 + 7(-2) - 3 = 24 - 14 - 3 = 7 \quad (\text{no satisface la inecuación}) \][/tex]
- Para [tex]\(x\)[/tex] en [tex]\((- \frac{3}{2}, \frac{1}{3})\)[/tex]:
Tomemos [tex]\(x = 0\)[/tex]:
[tex]\[ 6(0)^2 + 7(0) - 3 = -3 \quad (\text{satisface la inecuación}) \][/tex]
- Para [tex]\(x\)[/tex] en [tex]\((\frac{1}{3}, \infty)\)[/tex]:
Tomemos [tex]\(x = 1\)[/tex]:
[tex]\[ 6(1)^2 + 7(1) - 3 = 6 + 7 - 3 = 10 \quad (\text{no satisface la inecuación}) \][/tex]
5. Conclusión:
La inecuación [tex]\(6x^2 + 7x \leq 3\)[/tex] se satisface en el intervalo [tex]\([-\frac{3}{2}, \frac{1}{3}]\)[/tex], incluyendo los extremos ya que la inecuación es "menor o igual".
Por lo tanto, la solución de la inecuación es:
[tex]\[ \boxed{\left[ -\frac{3}{2}, \frac{1}{3} \right]} \][/tex]
1. Reescribir la inecuación en forma estándar:
Primero, llevamos todos los términos al mismo lado para que la inecuación tenga la forma estándar [tex]\(ax^2 + bx + c \leq 0\)[/tex]:
[tex]\[ 6x^2 + 7x - 3 \leq 0 \][/tex]
2. Encontrar las raíces de la ecuación cuadrática asociada:
Necesitamos resolver la ecuación [tex]\(6x^2 + 7x - 3 = 0\)[/tex] para encontrar los puntos críticos. Esto se hace usando la fórmula cuadrática:
[tex]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
Donde [tex]\(a = 6\)[/tex], [tex]\(b = 7\)[/tex] y [tex]\(c = -3\)[/tex]. Sustituimos estos valores en la fórmula cuadrática:
[tex]\[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3)}}{2 \cdot 6} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 72}}{12} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{121}}{12} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-7 \pm 11}{12} \][/tex]
Esto nos da dos soluciones:
[tex]\[ x_1 = \frac{-7 + 11}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \][/tex]
[tex]\[ x_2 = \frac{-7 - 11}{12} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2} \][/tex]
3. Determinar los intervalos para la inecuación:
Las raíces dividen la recta real en tres intervalos. Debemos probar un punto de cada intervalo para ver en cuál(es) se satisface la inecuación [tex]\(6x^2 + 7x - 3 \leq 0\)[/tex]:
- Intervalo [tex]\( (-\infty, -\frac{3}{2}) \)[/tex]
- Intervalo [tex]\( (-\frac{3}{2}, \frac{1}{3}) \)[/tex]
- Intervalo [tex]\( (\frac{1}{3}, \infty) \)[/tex]
4. Evaluar en cada intervalo:
- Para [tex]\(x\)[/tex] en [tex]\((- \infty, -\frac{3}{2})\)[/tex]:
Tomemos [tex]\(x = -2\)[/tex]:
[tex]\[ 6(-2)^2 + 7(-2) - 3 = 24 - 14 - 3 = 7 \quad (\text{no satisface la inecuación}) \][/tex]
- Para [tex]\(x\)[/tex] en [tex]\((- \frac{3}{2}, \frac{1}{3})\)[/tex]:
Tomemos [tex]\(x = 0\)[/tex]:
[tex]\[ 6(0)^2 + 7(0) - 3 = -3 \quad (\text{satisface la inecuación}) \][/tex]
- Para [tex]\(x\)[/tex] en [tex]\((\frac{1}{3}, \infty)\)[/tex]:
Tomemos [tex]\(x = 1\)[/tex]:
[tex]\[ 6(1)^2 + 7(1) - 3 = 6 + 7 - 3 = 10 \quad (\text{no satisface la inecuación}) \][/tex]
5. Conclusión:
La inecuación [tex]\(6x^2 + 7x \leq 3\)[/tex] se satisface en el intervalo [tex]\([-\frac{3}{2}, \frac{1}{3}]\)[/tex], incluyendo los extremos ya que la inecuación es "menor o igual".
Por lo tanto, la solución de la inecuación es:
[tex]\[ \boxed{\left[ -\frac{3}{2}, \frac{1}{3} \right]} \][/tex]
Thanks for using our platform. We're always here to provide accurate and up-to-date answers to all your queries. We hope you found what you were looking for. Feel free to revisit us for more answers and updated information. Stay curious and keep coming back to Westonci.ca for answers to all your burning questions.