Para resolver la fracción [tex]\(\frac{3}{\sqrt{6}-1}\)[/tex], vamos a racionalizar el denominador. El proceso de racionalización del denominador consiste en eliminar la raíz del denominador multiplicando tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador.
El denominador de la fracción original es [tex]\(\sqrt{6} - 1\)[/tex]. El conjugado de [tex]\(\sqrt{6} - 1\)[/tex] es [tex]\(\sqrt{6} + 1\)[/tex]. Multiplicamos el numerador y el denominador por este conjugado:
[tex]\[
\frac{3}{\sqrt{6} - 1} \times \frac{\sqrt{6} + 1}{\sqrt{6} + 1} = \frac{3(\sqrt{6} + 1)}{(\sqrt{6} - 1)(\sqrt{6} + 1)}
\][/tex]
En el numerador, aplicamos la propiedad distributiva:
[tex]\[
3(\sqrt{6} + 1) = 3\sqrt{6} + 3
\][/tex]
En el denominador, aplicamos la identidad de la diferencia de cuadrados [tex]\( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \)[/tex]:
[tex]\[
(\sqrt{6} - 1)(\sqrt{6} + 1) = (\sqrt{6})^2 - (1)^2 = 6 - 1 = 5
\][/tex]
Por lo tanto, la fracción original se convierte en:
[tex]\[
\frac{3\sqrt{6} + 3}{5}
\][/tex]
Podemos reescribir esta fracción como la suma de dos fracciones:
[tex]\[
\frac{3\sqrt{6} + 3}{5} = \frac{3\sqrt{6}}{5} + \frac{3}{5}
\][/tex]
Así que la fracción racionalizada es:
[tex]\[
\frac{3\sqrt{6}}{5} + \frac{3}{5}
\][/tex]
Para obtener una representación decimal aproximada, evaluamos esta expresión:
[tex]\[
\frac{3\sqrt{6}}{5} + \frac{3}{5} \approx 2.06969384566991
\][/tex]
En resumen, al racionalizar el denominador de [tex]\(\frac{3}{\sqrt{6}-1}\)[/tex], obtenemos:
[tex]\[
\frac{3}{\sqrt{6}-1} = \frac{3\sqrt{6} + 3}{5} \approx 2.06969384566991
\][/tex]
