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Sagot :
Vamos a resolver los problemas de ecuaciones cuadráticas:
### Problemas de ecuaciones cuadráticas:
#### a) Calculo de las dimensiones de una finca rectangular
Dado:
- Área: [tex]\(750 \, \text{m}^2\)[/tex]
- Perímetro: [tex]\(110 \, \text{m}\)[/tex]
Las ecuaciones que describen las dimensiones de la finca son:
- [tex]\( l \cdot w = 750 \)[/tex]
- [tex]\( 2(l + w) = 110 \Rightarrow l + w = 55 \)[/tex]
Resolviendo estas ecuaciones simultáneamente, encontramos las posibles dimensiones:
- Primera solución: [tex]\( l = 25 \, \text{m}, w = 30 \, \text{m} \)[/tex]
- Segunda solución: [tex]\( l = 30 \, \text{m}, w = 25 \, \text{m} \)[/tex]
Por lo tanto, las dimensiones de la finca pueden ser [tex]\(25 \, \text{m} \times 30 \, \text{m}\)[/tex] o [tex]\(30 \, \text{m} \times 25 \, \text{m}\)[/tex].
#### b) Anchura del camino en un jardín rectangular
Dado:
- Largo del jardín: [tex]\(50 \, \text{m}\)[/tex]
- Ancho del jardín: [tex]\(34 \, \text{m}\)[/tex]
- Área del camino: [tex]\(540 \, \text{m}^2\)[/tex]
Sea [tex]\(x\)[/tex] el ancho del camino. El área total incluyendo el camino es:
[tex]\[ (L + 2x)(W + 2x) - L \cdot W = 540 \][/tex]
Donde [tex]\(L = 50 \, \text{m}\)[/tex] y [tex]\(W = 34 \, \text{m}\)[/tex].
Resolviendo se encuentra que la anchura [tex]\(x\)[/tex] del camino es negativa en una de las soluciones, lo cual no tiene sentido físico. La solución válida es [tex]\( x = 3 \, \text{m} \)[/tex].
Por lo tanto, la anchura del camino es de [tex]\(3 \, \text{m}\)[/tex].
#### c) Dimensiones de la pieza rectangular
Dado:
- Volumen de la caja: [tex]\(840 \, \text{cm}^3\)[/tex]
- Lado del cuadrado cortado: [tex]\(6 \, \text{cm}\)[/tex]
La longitud es 4 cm más que el ancho:
[tex]\[ l = w + 4 \][/tex]
El volumen de la caja después de cortar los cuadrados y doblar los bordes es:
[tex]\[ (w - 2h)(l - 2h) \cdot h = 840 \][/tex]
Sustituyendo [tex]\(h = 6\)[/tex] y despejando se encuentra que las dimensiones posibles son:
- Una primera solución: [tex]\( l = 2 \, \text{cm}, w = -2 \, \text{cm}\)[/tex] (sin sentido físico, pues las longitudes no pueden ser negativas)
- La segunda solución: [tex]\( l = 26 \, \text{cm}, w = 22 \, \text{cm} \)[/tex]
Por lo tanto, las dimensiones de la pieza son de [tex]\(26 \, \text{cm} \times 22 \, \text{cm}\)[/tex].
Con estos cálculos, hemos resuelto los problemas planteados acerca de las ecuaciones cuadráticas.
### Problemas de ecuaciones cuadráticas:
#### a) Calculo de las dimensiones de una finca rectangular
Dado:
- Área: [tex]\(750 \, \text{m}^2\)[/tex]
- Perímetro: [tex]\(110 \, \text{m}\)[/tex]
Las ecuaciones que describen las dimensiones de la finca son:
- [tex]\( l \cdot w = 750 \)[/tex]
- [tex]\( 2(l + w) = 110 \Rightarrow l + w = 55 \)[/tex]
Resolviendo estas ecuaciones simultáneamente, encontramos las posibles dimensiones:
- Primera solución: [tex]\( l = 25 \, \text{m}, w = 30 \, \text{m} \)[/tex]
- Segunda solución: [tex]\( l = 30 \, \text{m}, w = 25 \, \text{m} \)[/tex]
Por lo tanto, las dimensiones de la finca pueden ser [tex]\(25 \, \text{m} \times 30 \, \text{m}\)[/tex] o [tex]\(30 \, \text{m} \times 25 \, \text{m}\)[/tex].
#### b) Anchura del camino en un jardín rectangular
Dado:
- Largo del jardín: [tex]\(50 \, \text{m}\)[/tex]
- Ancho del jardín: [tex]\(34 \, \text{m}\)[/tex]
- Área del camino: [tex]\(540 \, \text{m}^2\)[/tex]
Sea [tex]\(x\)[/tex] el ancho del camino. El área total incluyendo el camino es:
[tex]\[ (L + 2x)(W + 2x) - L \cdot W = 540 \][/tex]
Donde [tex]\(L = 50 \, \text{m}\)[/tex] y [tex]\(W = 34 \, \text{m}\)[/tex].
Resolviendo se encuentra que la anchura [tex]\(x\)[/tex] del camino es negativa en una de las soluciones, lo cual no tiene sentido físico. La solución válida es [tex]\( x = 3 \, \text{m} \)[/tex].
Por lo tanto, la anchura del camino es de [tex]\(3 \, \text{m}\)[/tex].
#### c) Dimensiones de la pieza rectangular
Dado:
- Volumen de la caja: [tex]\(840 \, \text{cm}^3\)[/tex]
- Lado del cuadrado cortado: [tex]\(6 \, \text{cm}\)[/tex]
La longitud es 4 cm más que el ancho:
[tex]\[ l = w + 4 \][/tex]
El volumen de la caja después de cortar los cuadrados y doblar los bordes es:
[tex]\[ (w - 2h)(l - 2h) \cdot h = 840 \][/tex]
Sustituyendo [tex]\(h = 6\)[/tex] y despejando se encuentra que las dimensiones posibles son:
- Una primera solución: [tex]\( l = 2 \, \text{cm}, w = -2 \, \text{cm}\)[/tex] (sin sentido físico, pues las longitudes no pueden ser negativas)
- La segunda solución: [tex]\( l = 26 \, \text{cm}, w = 22 \, \text{cm} \)[/tex]
Por lo tanto, las dimensiones de la pieza son de [tex]\(26 \, \text{cm} \times 22 \, \text{cm}\)[/tex].
Con estos cálculos, hemos resuelto los problemas planteados acerca de las ecuaciones cuadráticas.
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