Para resolver este problema, primero debemos entender qué significa que un conjunto de vectores genere un espacio y cómo determinar la dimensión de ese conjunto.
El conjunto de vectores [tex]\(W = \operatorname{Gen}\{(2,3), (1,2), (1,0), (2,2), (1,1), (5,1)\}\)[/tex] significa que [tex]\(W\)[/tex] está generado por los vectores dados. Queremos saber si este conjunto genera el espacio [tex]\(\mathbb{R}^2\)[/tex] y cuál es la dimensión del subespacio generado por estos vectores.
### Paso a paso:
1. Formar una matriz con los vectores:
[tex]\[
A = \begin{pmatrix}
2 & 3 \\
1 & 2 \\
1 & 0 \\
2 & 2 \\
1 & 1 \\
5 & 1 \\
\end{pmatrix}
\][/tex]
2. Determinar la dimensión del subespacio:
La dimensión de un subespacio generado por un conjunto de vectores viene dada por el rango de la matriz formada por estos vectores. El rango de una matriz es el número máximo de vectores linealmente independientes en esa matriz.
3. Cálculo del rango:
Para calcular el rango y consecuentemente la dimensión del subespacio, observamos la matriz [tex]\(A\)[/tex].
4. Conclusión sobre generar [tex]\(\mathbb{R}^2\)[/tex]:
Si el rango (dimensión) del conjunto de vectores es igual a 2, entonces el conjunto de vectores genera el espacio [tex]\(\mathbb{R}^2\)[/tex]. De lo contrario, no lo genera.
Tras el análisis y cálculo correspondiente, se obtiene que la dimensión del subespacio [tex]\(W\)[/tex] es 2.
Por lo tanto, podemos concluir que:
[tex]\[
\operatorname{dim}(W) = 2, \quad \text{y} \quad W \text{ genera } \mathbb{R}^2.
\][/tex]
La respuesta correcta es:
[tex]\[
\operatorname{dim}(W) = 2, \quad W \text{ sí genera } \mathbb{R}^2.
\][/tex]
