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2. Realiza la división [tex]\left(3x^3 - 5x^2 + x - 2\right) \div (x - 2)[/tex] y escribe en la forma [tex]q(x) + \frac{r(x)}{d(x)}[/tex].

Sagot :

GinnyAnswer
Para resolver la división del polinomio [tex]\(3x^3 - 5x^2 + x - 2\)[/tex] entre [tex]\(x - 2\)[/tex], debemos realizar el proceso de división de polinomios. A continuación se describen los pasos detallados para realizar esta división:

1. Identificación del Dividendo y del Divisor:
- Dividendo: [tex]\(3x^3 - 5x^2 + x - 2\)[/tex]
- Divisor: [tex]\(x - 2\)[/tex]

2. Primer Paso: División del Término de Mayor Grado:
- Dividimos el primer término del dividendo ([tex]\(3x^3\)[/tex]) entre el primer término del divisor ([tex]\(x\)[/tex]):
[tex]\[ \frac{3x^3}{x} = 3x^2 \][/tex]
- Este es el primer término del cociente.

3. Multiplicación y Resta:
- Multiplicamos el divisor por el primer término del cociente ([tex]\(3x^2\)[/tex]):
[tex]\[ (x - 2) \cdot 3x^2 = 3x^3 - 6x^2 \][/tex]
- Restamos este resultado del dividendo:
[tex]\[ (3x^3 - 5x^2 + x - 2) - (3x^3 - 6x^2) = -5x^2 + 6x^2 + x - 2 = x^2 + x - 2 \][/tex]

4. Segundo Paso: Repetimos el Proceso:
- Dividimos el nuevo primer término ([tex]\(x^2\)[/tex]) entre el primer término del divisor ([tex]\(x\)[/tex]):
[tex]\[ \frac{x^2}{x} = x \][/tex]
- Este es el segundo término del cociente.

5. Multiplicación y Resta:
- Multiplicamos el divisor por el segundo término del cociente ([tex]\(x\)[/tex]):
[tex]\[ (x - 2) \cdot x = x^2 - 2x \][/tex]
- Restamos este resultado del nuevo dividendo parcial:
[tex]\[ (x^2 + x - 2) - (x^2 - 2x) = x + 2x - 2 = 3x - 2 \][/tex]

6. Tercer Paso: Repetimos el Proceso Nuevamente:
- Dividimos el nuevo primer término ([tex]\(3x\)[/tex]) entre el primer término del divisor ([tex]\(x\)[/tex]):
[tex]\[ \frac{3x}{x} = 3 \][/tex]
- Este es el tercer término del cociente.

7. Multiplicación y Resta:
- Multiplicamos el divisor por el tercer término del cociente ([tex]\(3\)[/tex]):
[tex]\[ (x - 2) \cdot 3 = 3x - 6 \][/tex]
- Restamos este resultado del nuevo dividendo parcial:
[tex]\[ (3x - 2) - (3x - 6) = -2 + 6 = 4 \][/tex]

Finalmente, el cociente es [tex]\(3x^2 + x + 3\)[/tex] y el residuo es [tex]\(4\)[/tex].

Entonces, podemos escribir la división en la forma de cociente más residuo como:
[tex]\[ \frac{3x^3 - 5x^2 + x - 2}{x - 2} = 3x^2 + x + 3 \quad \text{con residuo} \quad 4 \][/tex]

Expresado como [tex]\(qd + \because\)[/tex], tenemos:
[tex]\[ 3x^3 - 5x^2 + x - 2 = (x - 2)(3x^2 + x + 3) + 4 \][/tex]
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