Para determinar qué proposiciones son verdaderas cuando la forma proposicional [tex]\((\neg p \vee q) \rightarrow[(\neg r \wedge p) \rightarrow(s \vee t )]\)[/tex] es falsa, sigamos estos pasos:
1. Identificar los componentes de la fórmula:
- La fórmula está dada en la forma [tex]\(A \rightarrow B\)[/tex].
- Donde [tex]\(A = (\neg p \vee q)\)[/tex] y [tex]\(B = (\neg r \wedge p) \rightarrow (s \vee t)\)[/tex].
2. Determinar cuándo una implicación es falsa:
- Recordemos que una implicación [tex]\(A \rightarrow B\)[/tex] es falsa sólo cuando [tex]\(A\)[/tex] es verdadero y [tex]\(B\)[/tex] es falso.
3. Analizar cuándo [tex]\(A\)[/tex] es verdadero:
- [tex]\(A = (\neg p \vee q)\)[/tex] será verdadero en los siguientes casos:
- [tex]\(p\)[/tex] es falso.
- [tex]\(q\)[/tex] es verdadero.
4. Analizar cuándo [tex]\(B\)[/tex] es falso:
- [tex]\(B = (\neg r \wedge p) \rightarrow (s \vee t)\)[/tex] es una implicación que será falsa cuando [tex]\((\neg r \wedge p)\)[/tex] es verdadero y [tex]\((s \vee t)\)[/tex] es falso.
- [tex]\((s \vee t)\)[/tex] es falso sólo si tanto [tex]\(s\)[/tex] como [tex]\(t\)[/tex] son falsos.
- Para que [tex]\((\neg r \wedge p)\)[/tex] sea verdadero, [tex]\(r\)[/tex] debe ser falso y [tex]\(p\)[/tex] debe ser verdadero.
5. Combinar las condiciones para la falsedad de [tex]\(A \rightarrow B\)[/tex]:
- Para que [tex]\(A = (\neg p \vee q)\)[/tex] sea verdadero, y [tex]\(B = (\neg r \wedge p) \rightarrow (s \vee t)\)[/tex] sea falso simultáneamente, consideramos la combinación:
- [tex]\(q\)[/tex] es verdadero.
- [tex]\(p\)[/tex] es verdadero.
- [tex]\(r\)[/tex] es falso.
- [tex]\(s\)[/tex] es falso.
- [tex]\(t\)[/tex] es falso.
Dado este análisis y el resultado proporcionado:
- [tex]\(p = \text{True}\)[/tex] (1)
- [tex]\(q = \text{True}\)[/tex] (1)
- [tex]\(r = \text{False}\)[/tex] (0)
- [tex]\(s = \text{False}\)[/tex] (0)
- [tex]\(t = \text{False}\)[/tex] (0)
Por lo tanto, las proposiciones que resultan verdaderas cuando la fórmula dada es falsa son: [tex]\(p\)[/tex] y [tex]\(q\)[/tex]. La respuesta escrita en términos numéricos es [tex]\([1, 1, 0, 0, 0]\)[/tex].
