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Sagot :
Para resolver este problema, primero analicemos la información dada y seleccionemos la opción correcta a partir de esto.
1. Se desea bajar a una persona desde la azotea de un edificio, y se coloca una escalera de 30 metros de longitud, que está apoyada un metro debajo de la azotea.
2. La escalera está apoyada en el piso a una distancia equivalente a la mitad de la altura del edificio.
Llamemos [tex]\( x \)[/tex] a la altura del edificio. De acuerdo con el problema, la escalera se coloca de tal manera que el punto de apoyo en la pared está a una altura de [tex]\( x - 1 \)[/tex] metros (un metro menos que la altura total del edificio), y a una distancia horizontal del edificio de [tex]\( \frac{1}{2} x \)[/tex] (la mitad de la altura del edificio).
Podemos usar el Teorema de Pitágoras en este triángulo rectángulo formado por la distancia horizontal, la altura de la escalera hasta el punto de apoyo, y la propia escalera como la hipotenusa, expresándolo como:
[tex]\[ (x - 1)^2 + \left(\frac{1}{2} x\right)^2 = 30^2 \][/tex]
Esto quiere decir, la ecuación correcta para resolver el problema es:
c) [tex]\( 900 = (x - 1)^2 + \left(\frac{1}{2} x\right)^2 \)[/tex]
Ahora resolvamos esta ecuación para encontrar la solución:
[tex]\[ 900 = (x - 1)^2 + \left(\frac{1}{2} x\right)^2 \][/tex]
Simplifiquemos y resolvamos la ecuación:
[tex]\[ 900 = (x - 1)^2 + \left(\frac{1}{2} x\right)^2 \][/tex]
Desarrollemos cada uno de los términos cuadrados:
[tex]\[ 900 = (x^2 - 2x + 1) + \frac{1}{4}x^2 \][/tex]
Combinando los términos similares, obtenemos:
[tex]\[ 900 = x^2 - 2x + 1 + \frac{1}{4}x^2 \][/tex]
Sumando los términos que contienen [tex]\(x^2\)[/tex]:
[tex]\[ 900 = 1.25 x^2 - 2 x + 1 \][/tex]
Reorganizamos la ecuación cuadrática para llevarla a la forma estándar:
[tex]\[ 1.25 x^2 - 2 x + 1 - 900 = 0 \][/tex]
[tex]\[ 1.25 x^2 - 2 x - 899 = 0 \][/tex]
Para resolver la ecuación cuadrática:
[tex]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
donde [tex]\( a = 1.25 \)[/tex], [tex]\( b = -2 \)[/tex], y [tex]\( c = -899 \)[/tex].
Calculando, obtenemos:
[tex]\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4495}}{2.5} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4499}}{2.5} \][/tex]
Las soluciones numéricas para esta ecuación son aproximadamente:
[tex]\[ x \approx -26.03 \][/tex]
[tex]\[ x \approx 27.63 \][/tex]
Dado que la altura del edificio no puede ser negativa, descartamos la solución negativa y obtenemos que la altura del edificio es aproximadamente [tex]\( 27.63 \)[/tex] metros.
Por lo tanto, la opción correcta es:
c) [tex]\( 900 = (x - 1)^2 + \left(\frac{1}{2} x\right)^2 \)[/tex] y la altura del edificio es aproximadamente [tex]\( 27.63 \)[/tex] metros.
1. Se desea bajar a una persona desde la azotea de un edificio, y se coloca una escalera de 30 metros de longitud, que está apoyada un metro debajo de la azotea.
2. La escalera está apoyada en el piso a una distancia equivalente a la mitad de la altura del edificio.
Llamemos [tex]\( x \)[/tex] a la altura del edificio. De acuerdo con el problema, la escalera se coloca de tal manera que el punto de apoyo en la pared está a una altura de [tex]\( x - 1 \)[/tex] metros (un metro menos que la altura total del edificio), y a una distancia horizontal del edificio de [tex]\( \frac{1}{2} x \)[/tex] (la mitad de la altura del edificio).
Podemos usar el Teorema de Pitágoras en este triángulo rectángulo formado por la distancia horizontal, la altura de la escalera hasta el punto de apoyo, y la propia escalera como la hipotenusa, expresándolo como:
[tex]\[ (x - 1)^2 + \left(\frac{1}{2} x\right)^2 = 30^2 \][/tex]
Esto quiere decir, la ecuación correcta para resolver el problema es:
c) [tex]\( 900 = (x - 1)^2 + \left(\frac{1}{2} x\right)^2 \)[/tex]
Ahora resolvamos esta ecuación para encontrar la solución:
[tex]\[ 900 = (x - 1)^2 + \left(\frac{1}{2} x\right)^2 \][/tex]
Simplifiquemos y resolvamos la ecuación:
[tex]\[ 900 = (x - 1)^2 + \left(\frac{1}{2} x\right)^2 \][/tex]
Desarrollemos cada uno de los términos cuadrados:
[tex]\[ 900 = (x^2 - 2x + 1) + \frac{1}{4}x^2 \][/tex]
Combinando los términos similares, obtenemos:
[tex]\[ 900 = x^2 - 2x + 1 + \frac{1}{4}x^2 \][/tex]
Sumando los términos que contienen [tex]\(x^2\)[/tex]:
[tex]\[ 900 = 1.25 x^2 - 2 x + 1 \][/tex]
Reorganizamos la ecuación cuadrática para llevarla a la forma estándar:
[tex]\[ 1.25 x^2 - 2 x + 1 - 900 = 0 \][/tex]
[tex]\[ 1.25 x^2 - 2 x - 899 = 0 \][/tex]
Para resolver la ecuación cuadrática:
[tex]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
donde [tex]\( a = 1.25 \)[/tex], [tex]\( b = -2 \)[/tex], y [tex]\( c = -899 \)[/tex].
Calculando, obtenemos:
[tex]\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4495}}{2.5} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4499}}{2.5} \][/tex]
Las soluciones numéricas para esta ecuación son aproximadamente:
[tex]\[ x \approx -26.03 \][/tex]
[tex]\[ x \approx 27.63 \][/tex]
Dado que la altura del edificio no puede ser negativa, descartamos la solución negativa y obtenemos que la altura del edificio es aproximadamente [tex]\( 27.63 \)[/tex] metros.
Por lo tanto, la opción correcta es:
c) [tex]\( 900 = (x - 1)^2 + \left(\frac{1}{2} x\right)^2 \)[/tex] y la altura del edificio es aproximadamente [tex]\( 27.63 \)[/tex] metros.
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