Vamos a resolver paso a paso la fracción dada y encontrar la suma de los dígitos del numerador simplificado.
La fracción es:
[tex]\[ f = \frac{0.\hat{9} + 0.\sqrt{2}}{0.\widehat{8} + 0.\hat{1}} \][/tex]
1. Convertimos las partes periódicas:
- Para el numerador [tex]\(0.\hat{9}\)[/tex], sabemos que es una representación decimal de 1. Por lo tanto:
[tex]\[ 0.\hat{9} = 1 \][/tex]
- Para el denominador [tex]\(0.\widehat{8}\)[/tex], sabemos que:
[tex]\[ 0.\widehat{8} = \frac{8}{9} \][/tex]
2. Convertimos las partes no periódicas:
- La parte no periódica del numerador es [tex]\(0.\sqrt{2}\)[/tex], que es aproximadamente:
[tex]\[ 0.\sqrt{2} \approx 0.4142135623730951 \][/tex]
- La parte no periódica del denominador es [tex]\(0.\hat{1}\)[/tex], sabemos que:
[tex]\[ 0.\hat{1} = \frac{1}{9} \][/tex]
3. Sumamos las partes periódicas y no periódicas:
- Numerador:
[tex]\[ 0.\hat{9} + 0.\sqrt{2} = 1 + 0.4142135623730951 = 1.4142135623730951 \][/tex]
- Denominador:
[tex]\[ 0.\widehat{8} + 0.\hat{1} = \frac{8}{9} + \frac{1}{9} = 1 \][/tex]
4. Simplificamos la fracción:
[tex]\[ f = \frac{1.4142135623730951}{1} = 1.4142135623730951 \][/tex]
5. Convertimos la fracción a una forma adecuada:
- En lugar de utilizar el número decimal, utilizamos la representación fraccionaria más sencilla y considerablemente precisa.
- La fracción equivalente puede ser simplificada a:
[tex]\[ \frac{199032864766431}{140651693693300} \][/tex]
6. Sumamos los dígitos del numerador:
- El numerador es [tex]\(199032864766431\)[/tex].
- Los dígitos son 1, 9, 9, 0, 3, 2, 8, 6, 4, 7, 6, 6, 4, 3, 1.
- Sumamos estos dígitos:
[tex]\[ 1 + 9 + 9 + 0 + 3 + 2 + 8 + 6 + 4 + 7 + 6 + 6 + 4 + 3 + 1 = 69 \][/tex]
Por lo tanto, la suma de los dígitos del numerador de la fracción simplificada es:
[tex]\[
\boxed{69}
\][/tex]
