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Sagot :
Vamos a examinar las descomposiciones canónicas propuestas por los cuatro estudiantes, es decir, cómo cada uno de ellos descompone un mismo número [tex]\(N\)[/tex] en factores primos.
### Análisis de las expresiones:
1. Tato: [tex]\(N = 2^n \times 4^3 \times 5^2\)[/tex]
Reescribamos la descomposición en términos de factores primos:
- [tex]\(4\)[/tex] es igual a [tex]\(2^2\)[/tex].
- Por lo tanto, [tex]\(4^3\)[/tex] es igual a [tex]\((2^2)^3 = 2^{6}\)[/tex].
Entonces, la expresión de Tato se convierte en:
[tex]\[ N = 2^n \times 2^6 \times 5^2 = 2^{n+6} \times 5^2 \][/tex]
2. Tito: [tex]\(N = 4^4 \times 5^3 \times 7^2\)[/tex]
Reescribámosla también en términos de factores primos:
- [tex]\(4\)[/tex] es igual a [tex]\(2^2\)[/tex].
- Por lo tanto, [tex]\(4^4\)[/tex] es igual a [tex]\((2^2)^4 = 2^{8}\)[/tex].
Entonces, la expresión de Tito se convierte en:
[tex]\[ N = 2^8 \times 5^3 \times 7^2 \][/tex]
3. Toto: [tex]\(N = 2^n \times 3^3 \times 9^3\)[/tex]
Reescribámosla en términos de factores primos:
- [tex]\(9\)[/tex] es igual a [tex]\(3^2\)[/tex].
- Por lo tanto, [tex]\(9^3\)[/tex] es igual a [tex]\((3^2)^3 = 3^{6}\)[/tex].
Entonces, la expresión de Toto se convierte en:
[tex]\[ N = 2^n \times 3^3 \times 3^6 = 2^n \times 3^9 \][/tex]
4. Tita: [tex]\(N = 2^5 \times 3^2 \times 7^3\)[/tex]
Esta descomposición ya está completamente en términos de factores primos, no necesita simplificación adicional:
[tex]\[ N = 2^5 \times 3^2 \times 7^3 \][/tex]
### Comparación:
Analizamos ahora las descomposiciones obtenidas:
- Tato: [tex]\(N = 2^{n+6} \times 5^2\)[/tex]
- Tito: [tex]\(N = 2^8 \times 5^3 \times 7^2\)[/tex]
- Toto: [tex]\(N = 2^n \times 3^9\)[/tex]
- Tita: [tex]\(N = 2^5 \times 3^2 \times 7^3\)[/tex]
Nos damos cuenta de que:
- La expresión de Tato no puede ser correcta sin información adicional sobre [tex]\(n\)[/tex].
- La expresión de Tito introduce el factor [tex]\(7\)[/tex] que no aparece en Tato ni en Toto.
- La expresión de Toto incluye factores de [tex]\(3\)[/tex] que no están en Tito.
- La expresión de Tita no tiene ninguna ambigüedad y es la única que tiene coherencia con los factores indicados sin requerir un valor adicional de [tex]\(n\)[/tex].
Por lo tanto, Tita es quien planteó la expresión correcta:
[tex]\[ \boxed{\text{Tita}} \][/tex]
### Análisis de las expresiones:
1. Tato: [tex]\(N = 2^n \times 4^3 \times 5^2\)[/tex]
Reescribamos la descomposición en términos de factores primos:
- [tex]\(4\)[/tex] es igual a [tex]\(2^2\)[/tex].
- Por lo tanto, [tex]\(4^3\)[/tex] es igual a [tex]\((2^2)^3 = 2^{6}\)[/tex].
Entonces, la expresión de Tato se convierte en:
[tex]\[ N = 2^n \times 2^6 \times 5^2 = 2^{n+6} \times 5^2 \][/tex]
2. Tito: [tex]\(N = 4^4 \times 5^3 \times 7^2\)[/tex]
Reescribámosla también en términos de factores primos:
- [tex]\(4\)[/tex] es igual a [tex]\(2^2\)[/tex].
- Por lo tanto, [tex]\(4^4\)[/tex] es igual a [tex]\((2^2)^4 = 2^{8}\)[/tex].
Entonces, la expresión de Tito se convierte en:
[tex]\[ N = 2^8 \times 5^3 \times 7^2 \][/tex]
3. Toto: [tex]\(N = 2^n \times 3^3 \times 9^3\)[/tex]
Reescribámosla en términos de factores primos:
- [tex]\(9\)[/tex] es igual a [tex]\(3^2\)[/tex].
- Por lo tanto, [tex]\(9^3\)[/tex] es igual a [tex]\((3^2)^3 = 3^{6}\)[/tex].
Entonces, la expresión de Toto se convierte en:
[tex]\[ N = 2^n \times 3^3 \times 3^6 = 2^n \times 3^9 \][/tex]
4. Tita: [tex]\(N = 2^5 \times 3^2 \times 7^3\)[/tex]
Esta descomposición ya está completamente en términos de factores primos, no necesita simplificación adicional:
[tex]\[ N = 2^5 \times 3^2 \times 7^3 \][/tex]
### Comparación:
Analizamos ahora las descomposiciones obtenidas:
- Tato: [tex]\(N = 2^{n+6} \times 5^2\)[/tex]
- Tito: [tex]\(N = 2^8 \times 5^3 \times 7^2\)[/tex]
- Toto: [tex]\(N = 2^n \times 3^9\)[/tex]
- Tita: [tex]\(N = 2^5 \times 3^2 \times 7^3\)[/tex]
Nos damos cuenta de que:
- La expresión de Tato no puede ser correcta sin información adicional sobre [tex]\(n\)[/tex].
- La expresión de Tito introduce el factor [tex]\(7\)[/tex] que no aparece en Tato ni en Toto.
- La expresión de Toto incluye factores de [tex]\(3\)[/tex] que no están en Tito.
- La expresión de Tita no tiene ninguna ambigüedad y es la única que tiene coherencia con los factores indicados sin requerir un valor adicional de [tex]\(n\)[/tex].
Por lo tanto, Tita es quien planteó la expresión correcta:
[tex]\[ \boxed{\text{Tita}} \][/tex]
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