Para determinar cuál de los estudiantes formuló una expresión correcta de la descomposición canónica de un número, debemos asegurarnos que el número esté expresado como un producto de potencias de números primos. A continuación, analizaremos cada expresión proporcionada:
1. Análisis de la expresión de Tato:
[tex]\[
N = 2^n \times 4^3 \times 5^2
\][/tex]
La base [tex]\(4\)[/tex] no es un número primo. Podemos convertir 4 a una potencia de 2:
[tex]\[
4^3 = (2^2)^3 = 2^6
\][/tex]
Sustituyendo en la expresión original:
[tex]\[
N = 2^n \times 2^6 \times 5^2 = 2^{n+6} \times 5^2
\][/tex]
Dado que el exponente de la base 2 no es único, esta expresión no está en la forma canónica.
2. Análisis de la expresión de Tito:
[tex]\[
N = 4^4 \times 5^3 \times 7^2
\][/tex]
Nuevamente, 4 debe ser expresado como una potencia de 2:
[tex]\[
4^4 = (2^2)^4 = 2^8
\][/tex]
Sustituyendo en la expresión original:
[tex]\[
N = 2^8 \times 5^3 \times 7^2
\][/tex]
Esta expresión está compuesta por números primos en sus respectivas potencias.
3. Análisis de la expresión de Toto:
[tex]\[
N = 2^n \times 3^3 \times 9^3
\][/tex]
El número 9 no es primo y debe ser convertido:
[tex]\[
9^3 = (3^2)^3 = 3^6
\][/tex]
Sustituyendo en la expresión original:
[tex]\[
N = 2^n \times 3^{3+6} = 2^n \times 3^9
\][/tex]
Similar a Tato, la base 2 no está singularmente expresada, lo cual tampoco es una forma canónica.
4. Análisis de la expresión de Tita:
[tex]\[
N = 2^5 \times 3^2 \times 7^3
\][/tex]
Esta expresión ya está en su forma canónica, porque utiliza números primos como bases y cada exponente es único y específico a su base.
Por lo tanto, la única expresión que cumple con las reglas de la descomposición canónica es la de Tita. Así, la respuesta correcta es que Tita planteó una expresión correcta.
