¡Claro! Vamos a resolver cada una de las expresiones paso a paso:
### Primera expresión: [tex]\(2^3 \cdot 2^2 \cdot 2^{-4}\)[/tex]
1. Aquí estamos multiplicando potencias con la misma base (2), por lo que podemos utilizar la propiedad de exponentes que dice que cuando multiplicamos potencias con la misma base, sumamos los exponentes:
[tex]\[
2^3 \cdot 2^2 \cdot 2^{-4} = 2^{3+2-4}
\][/tex]
2. Realizamos la suma de los exponentes:
[tex]\[
3 + 2 - 4 = 1
\][/tex]
3. Por lo tanto:
[tex]\[
2^3 \cdot 2^2 \cdot 2^{-4} = 2^1 = 2
\][/tex]
Entonces, tenemos que la primera expresión se simplifica a 2.
### Segunda expresión: [tex]\(2^2 \cdot 3^3 \cdot 6^{-3}\)[/tex]
1. Primero, descomponemos [tex]\(6^{-3}\)[/tex] en sus factores primos:
[tex]\[
6 = 2 \cdot 3 \quad \text{por lo tanto} \quad 6^{-3} = (2 \cdot 3)^{-3} = 2^{-3} \cdot 3^{-3}
\][/tex]
2. Ahora reescribimos la expresión completa incorporando esta descomposición:
[tex]\[
2^2 \cdot 3^3 \cdot 2^{-3} \cdot 3^{-3}
\][/tex]
3. Aplicamos la propiedad de exponentes para agrupar las potencias con la misma base:
[tex]\[
2^2 \cdot 2^{-3} \cdot 3^3 \cdot 3^{-3} = 2^{2-3} \cdot 3^{3-3}
\][/tex]
4. Realizamos las restas de los exponentes:
[tex]\[
2 - 3 = -1 \quad \text{y} \quad 3 - 3 = 0
\][/tex]
5. Por lo tanto, la expresión se simplifica a:
[tex]\[
2^{-1} \cdot 3^0
\][/tex]
6. Sabemos que cualquier número elevado a la potencia 0 es 1, así que:
[tex]\[
3^0 = 1
\][/tex]
7. Entonces, la expresión se reduce a:
[tex]\[
2^{-1} \cdot 1 = 2^{-1} = \frac{1}{2} = 0.5
\][/tex]
Por lo tanto, la segunda expresión se simplifica a [tex]\(0.5\)[/tex].
En conclusión, los resultados simplificados para las expresiones dadas son:
1. [tex]\(2^3 \cdot 2^2 \cdot 2^{-4} = 2\)[/tex]
2. [tex]\(2^2 \cdot 3^3 \cdot 6^{-3} = \frac{1}{2} = 0.5\)[/tex]
