Welcome to Westonci.ca, your one-stop destination for finding answers to all your questions. Join our expert community now! Ask your questions and receive precise answers from experienced professionals across different disciplines. Experience the convenience of finding accurate answers to your questions from knowledgeable experts on our platform.

4) Calcular el cociente y residuo:

[tex]\[
\left(5x^4 + 10x^3 - 6x - 12\right) \div (x + 2)
\][/tex]


Sagot :

Para calcular el cociente y el residuo de la división de dos polinomios, podemos utilizar la división larga de polinomios. Vamos a dividir el polinomio [tex]\(5x^4 + 10x^3 - 6x - 12\)[/tex] entre [tex]\(x + 2\)[/tex].

### Paso 1: Setup
Escribimos la división en forma de división larga:

[tex]\[ \frac{5x^4 + 10x^3 - 6x - 12}{x + 2} \][/tex]

### Paso 2: Dividir el primer término
Dividimos el primer término del dividendo ([tex]\(5x^4\)[/tex]) por el primer término del divisor ([tex]\(x\)[/tex]):

[tex]\[ \frac{5x^4}{x} = 5x^3 \][/tex]

Escribimos [tex]\(5x^3\)[/tex] como el primer término del cociente.

### Paso 3: Multiplicar y restar
Multiplicamos [tex]\(5x^3\)[/tex] por [tex]\(x + 2\)[/tex] y restamos ese producto del dividendo.

[tex]\[ (5x^4 + 10x^3 - 6x - 12) - (5x^3 \cdot (x + 2)) = 5x^4 + 10x^3 - (5x^4 + 10x^3) - 6x - 12 \][/tex]

Simplificando, obtenemos:

[tex]\[ 5x^4 + 10x^3 - 5x^4 - 10x^3 = 0 \][/tex]

Ahora nuestra nueva expresión es:
[tex]\[ 0 - 6x - 12 \][/tex]

### Paso 4: Repetir para los siguientes términos
Repetimos el proceso para los siguientes términos.

#### 4.1: Primer término del nuevo dividendo:

[tex]\[ \frac{0}{x} = 0 \][/tex]

Multiplicamos 0 por [tex]\(x+2\)[/tex]:

[tex]\[ (0 \cdot (x + 2)) = 0 \][/tex]

Resta del dividendo:
[tex]\[ -6x - 12 - 0 = -6x - 12 \][/tex]

### Paso 5: Continuar dividiendo

### Nota: En cada paso nuestros pasos anteriores eliminaban los términos, y ahora observe que solo queda el residuo, ya que [tex]\(5x^3\)[/tex] fue todo el cociente.

### Paso 6: Resultado final

Así llegamos a:
- Cociente: [tex]\(5x^3\)[/tex]
- Residuo: [tex]\(-6x - 12\)[/tex]

Por lo tanto, el cociente y residuo de la división [tex]\((5x^4 + 10x^3 - 6x - 12) \div (x + 2)\)[/tex] son:
- Cociente: [tex]\(5x^3\)[/tex]
- Residuo: [tex]\(-6x - 12\)[/tex]