Para resolver la expresión [tex]\(\frac{(2 x^2 y)^{-1}}{(-2 x^2 y^3)^2}\)[/tex], sigamos los siguientes pasos detalladamente:
1. Evaluar el numerador:
[tex]\[
(2 x^2 y)^{-1}
\][/tex]
Cuando una expresión está elevada a una potencia negativa, podemos tomar su recíproco. Así que el recíproco de [tex]\(2 x^2 y\)[/tex] es:
[tex]\[
\frac{1}{2 x^2 y}
\][/tex]
2. Evaluar el denominador:
[tex]\[
(-2 x^2 y^3)^2
\][/tex]
Al elevar una expresión a una potencia, cada factor de la expresión se eleva a esa potencia. Aquí, cada término dentro del paréntesis se eleva al cuadrado:
[tex]\[
(-2)^2 (x^2)^2 (y^3)^2 = 4 x^4 y^6
\][/tex]
3. Escribir la expresión intermedia completa:
Entonces, la expresión original se convierte en:
[tex]\[
\frac{\frac{1}{2 x^2 y}}{4 x^4 y^6}
\][/tex]
4. Simplificar la expresión:
Para dividir una fracción por otra, multiplicamos por el recíproco de la segunda fracción:
[tex]\[
\frac{1}{2 x^2 y} \times \frac{1}{4 x^4 y^6} = \frac{1 \cdot 1}{(2 x^2 y) \cdot (4 x^4 y^6)}
\][/tex]
Simplifiquemos la multiplicación en el denominador:
[tex]\[
= \frac{1}{2 \cdot 4 \cdot x^2 \cdot x^4 \cdot y \cdot y^6}
= \frac{1}{8 x^{2+4} y^{1+6}}
= \frac{1}{8 x^6 y^7}
\][/tex]
Entonces, la expresión simplificada final es:
[tex]\[
\frac{1}{8 x^6 y^7}
\][/tex]
Por lo tanto, la respuesta correcta es:
[tex]\[
\boxed{\frac{1}{8 x^6 y^7}}
\][/tex]
