At Westonci.ca, we make it easy for you to get the answers you need from a community of knowledgeable individuals. Our Q&A platform offers a seamless experience for finding reliable answers from experts in various disciplines. Experience the convenience of finding accurate answers to your questions from knowledgeable experts on our platform.

Factorice la siguiente expresión:
[tex]\[ 27p^3 q^6 - 125r^3 s^3 \][/tex]

A. [tex]\((3p + 5r)(3q^4 - 5pq^2rs + 15r^2s^2)\)[/tex]
B. [tex]\((pq^2 - rs)(9p^2 q^4 - 30pq^2rs + 125r^2s^2)\)[/tex]
C. [tex]\((3pq^2 - 5rs)(9p^2 q^4 + 15pq^2rs + 25r^2s^2)\)[/tex]
D. [tex]\((3pq^2 - 5rs)(3q^4 - 5pq^2rs - 15r^2s^2)\)[/tex]


Sagot :

Para factorizar la expresión [tex]\(27 p^3 q^6 - 125 r^3 s^3\)[/tex], sigamos los siguientes pasos detalladamente:

1. Identificación de términos comunes:
Primero, observemos si hay algo en común en los términos de la expresión [tex]\(27 p^3 q^6 - 125 r^3 s^3\)[/tex]. Vemos que ambos términos son cubos perfectos:
- [tex]\(27 p^3 q^6 = (3 p q^2)^3\)[/tex]
- [tex]\(125 r^3 s^3 = (5 r s)^3\)[/tex]

2. Aplicación de la fórmula de diferencia de cubos:
Recordemos la fórmula para la diferencia de cubos, la cual es:
[tex]\[ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \][/tex]
Donde [tex]\(a = 3 p q^2\)[/tex] y [tex]\(b = 5 r s\)[/tex].

3. Sustitución de los valores:
Al sustituir [tex]\(a = 3 p q^2\)[/tex] y [tex]\(b = 5 r s\)[/tex] en la fórmula, tenemos:
[tex]\[ (3 p q^2 - 5 r s)\left((3 p q^2)^2 + (3 p q^2)(5 r s) + (5 r s)^2\right) \][/tex]

4. Expansión de los términos:
Ahora expandimos y simplificamos los términos dentro del paréntesis cuadrado:
- [tex]\((3 p q^2)^2 = 9 p^2 q^4\)[/tex]
- [tex]\((3 p q^2)(5 r s) = 15 p q^2 r s\)[/tex]
- [tex]\((5 r s)^2 = 25 r^2 s^2\)[/tex]

Entonces, la expresión completa se convierte en:
[tex]\[ (3 p q^2 - 5 r s)(9 p^2 q^4 + 15 p q^2 r s + 25 r^2 s^2) \][/tex]

5. Verificación con las opciones dadas:
Comparando con las opciones proporcionadas:
[tex]\[ c. (3 p q^2 - 5 r s)(9 p^2 q^4 + 15 p q^2 r s + 25 r^2 s^2) \][/tex]
Podemos ver que la opción correcta es la [tex]\( c \)[/tex].

Por lo tanto, la expresión factorizada de [tex]\(27 p^3 q^6 - 125 r^3 s^3\)[/tex] es:
[tex]\[ (3 p q^2 - 5 r s)(9 p^2 q^4 + 15 p q^2 r s + 25 r^2 s^2) \][/tex]

Y la opción correcta es la [tex]\(c\)[/tex].