Para abordar este problema, primero debemos entender y utilizar la función definida [tex]\( F(x) \)[/tex] según las condiciones dadas:
[tex]\[
F(x) = \left\{
\begin{array}{l}
ax + 5, \quad x \geq 4 \\
3bx - 7, \quad x < 4
\end{array}
\right.
\][/tex]
Tomemos los valores específicos dados para las variables [tex]\( a \)[/tex] y [tex]\( b \)[/tex]. Para este problema utilizaremos [tex]\( a = 1 \)[/tex] y [tex]\( b = 2 \)[/tex].
Primero, evaluemos la función [tex]\( F(x) \)[/tex] en los puntos necesarios:
1. Evaluar [tex]\( F(6) \)[/tex]:
Como [tex]\( 6 \geq 4 \)[/tex], usamos la parte de la función donde [tex]\( F(x) = ax + 5 \)[/tex].
[tex]\[
F(6) = 1(6) + 5 = 6 + 5 = 11
\][/tex]
2. Evaluar [tex]\( F(2) \)[/tex]:
Como [tex]\( 2 < 4 \)[/tex], usamos la parte de la función donde [tex]\( F(x) = 3bx - 7 \)[/tex].
[tex]\[
F(2) = 3(2)(2) - 7 = 12 - 7 = 5
\][/tex]
Con estos valores, ahora podemos calcular la expresión [tex]\( F(6) - F(2) - 2(7 - 3b) \)[/tex]:
3. Calcular [tex]\( 2(7 - 3b) \)[/tex]:
Dado que [tex]\( b = 2 \)[/tex],
[tex]\[
2(7 - 3b) = 2(7 - 3(2)) = 2(7 - 6) = 2(1) = 2
\][/tex]
4. Sustituir en la expresión completa:
[tex]\[
F(6) - F(2) - 2(7 - 3b) = 11 - 5 - 2 = 11 - 5 - 2 = 4
\][/tex]
Ahora que hemos verificado los valores intermedios, procedemos al cálculo de [tex]\( F(F(12)) \)[/tex]:
5. Evaluar [tex]\( F(12) \)[/tex]:
Como [tex]\( 12 \geq 4 \)[/tex], utilizamos nuevamente la parte de la función donde [tex]\( F(x) = ax + 5 \)[/tex].
[tex]\[
F(12) = 1(12) + 5 = 12 + 5 = 17
\][/tex]
Finalmente, evaluamos otra vez la función para encontrar [tex]\( F(F(12)) \)[/tex]:
6. Evaluar [tex]\( F(17) \)[/tex]:
Como [tex]\( 17 \geq 4 \)[/tex], usamos la misma parte de la función:
[tex]\[
F(17) = 1(17) + 5 = 17 + 5 = 22
\][/tex]
Por lo tanto, el valor de [tex]\( F(F(12)) \)[/tex] es:
[tex]\[
F(F(12)) = 22
\][/tex]
En resumen, hemos encontrado que [tex]\( F(12) = 17 \)[/tex] y [tex]\( F(F(12)) = 22 \)[/tex].
