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Sagot :
Para resolver el ejercicio con los datos proporcionados, seguimos varios pasos:
### a) Marca de Clase
La marca de clase de un intervalo es el punto medio de dicho intervalo. Se calcula con la fórmula:
[tex]\[ \text{Marca de clase} = \frac{\text{límite inferior} + \text{límite superior}}{2} \][/tex]
Para cada intervalo, obtenemos:
- [50, 60): [tex]\[ \frac{50 + 60}{2} = 55.0 \][/tex]
- [60, 70): [tex]\[ \frac{60 + 70}{2} = 65.0 \][/tex]
- [70, 80): [tex]\[ \frac{70 + 80}{2} = 75.0 \][/tex]
- [80, 90): [tex]\[ \frac{80 + 90}{2} = 85.0 \][/tex]
- [90, 100): [tex]\[ \frac{90 + 100}{2} = 95.0 \][/tex]
- [100, 110): [tex]\[ \frac{100 + 110}{2} = 105.0 \][/tex]
- [110, 120): [tex]\[ \frac{110 + 120}{2} = 115.0 \][/tex]
Entonces, las marcas de clase son:
[tex]\[ [55.0, 65.0, 75.0, 85.0, 95.0, 105.0, 115.0] \][/tex]
### b) Frecuencia Absoluta Acumulada, Relativa y Porcentual
#### Frecuencia Absoluta Acumulada
La frecuencia absoluta acumulada se obtiene sumando las frecuencias absolutas de cada intervalo y de todos los anteriores.
[tex]\[ F_i = f_1 + f_2 + ... + f_i \][/tex]
Calculamos:
- [50, 60): 8
- [60, 70): 8 + 10 = 18
- [70, 80): 18 + 16 = 34
- [80, 90): 34 + 14 = 48
- [90, 100): 48 + 10 = 58
- [100, 110): 58 + 5 = 63
- [110, 120): 63 + 2 = 65
Las frecuencias acumuladas son:
[tex]\[ [8, 18, 34, 48, 58, 63, 65] \][/tex]
#### Frecuencia Relativa
La frecuencia relativa se obtiene dividiendo la frecuencia absoluta de cada intervalo entre la suma total de frecuencias absolutas.
[tex]\[ f'_i = \frac{f_i}{N} \][/tex]
Donde [tex]\(N = 65\)[/tex].
Calculamos:
- [50, 60): [tex]\[ \frac{8}{65} \approx 0.1231 \][/tex]
- [60, 70): [tex]\[ \frac{10}{65} \approx 0.1538 \][/tex]
- [70, 80): [tex]\[ \frac{16}{65} \approx 0.2462 \][/tex]
- [80, 90): [tex]\[ \frac{14}{65} \approx 0.2154 \][/tex]
- [90, 100): [tex]\[ \frac{10}{65} \approx 0.1538 \][/tex]
- [100, 110): [tex]\[ \frac{5}{65} \approx 0.0769 \][/tex]
- [110, 120): [tex]\[ \frac{2}{65} \approx 0.0308 \][/tex]
Las frecuencias relativas son:
[tex]\[ [0.1231, 0.1538, 0.2462, 0.2154, 0.1538, 0.0769, 0.0308] \][/tex]
#### Frecuencia Porcentual
La frecuencia porcentual es la frecuencia relativa multiplicada por 100.
[tex]\[ f''_i = f'_i \times 100 \][/tex]
Calculamos:
- [50, 60): [tex]\[ 0.1231 \times 100 \approx 12.31\%\][/tex]
- [60, 70): [tex]\[ 0.1538 \times 100 \approx 15.38\%\][/tex]
- [70, 80): [tex]\[ 0.2462 \times 100 \approx 24.62\%\][/tex]
- [80, 90): [tex]\[ 0.2154 \times 100 \approx 21.54\%\][/tex]
- [90, 100): [tex]\[ 0.1538 \times 100 \approx 15.38\% \][/tex]
- [100, 110): [tex]\[ 0.0769 \times 100 \approx 7.69\%\][/tex]
- [110, 120): [tex]\[ 0.0308 \times 100 \approx 3.08\%\][/tex]
Las frecuencias porcentuales son:
[tex]\[ [12.31\%, 15.38\%, 24.62\%, 21.54\%, 15.38\%, 7.69\%, 3.08\%] \][/tex]
### Identificación de Amplitud del Intervalo, Número de Intervalos y Rango
#### Amplitud del Intervalo
La amplitud del intervalo es la diferencia entre el límite superior y el límite inferior de un intervalo.
Para estos intervalos, todos tienen la misma amplitud:
[tex]\[ \text{Amplitud} = 60 - 50 = 10 \][/tex]
#### Número de Intervalos
El número de intervalos es el total de clases que hay en la tabla.
Aquí contamos 7 intervalos:
[tex]\[ \text{Número de intervalos} = 7 \][/tex]
#### Rango
El rango es la diferencia entre el límite superior del intervalo más alto y el límite inferior del intervalo más bajo.
[tex]\[ \text{Rango} = 120 - 50 = 70 \][/tex]
En resumen, las respuestas son:
### Resultados Finales:
#### a) Marca de Clase:
[tex]\[ [55.0, 65.0, 75.0, 85.0, 95.0, 105.0, 115.0] \][/tex]
#### b) Frecuencias:
- Absoluta Acumulada: [tex]\[ [8, 18, 34, 48, 58, 63, 65] \][/tex]
- Relativa: [tex]\[ [0.1231, 0.1538, 0.2462, 0.2154, 0.1538, 0.0769, 0.0308] \][/tex]
- Porcentual: [tex]\[ [12.31\%, 15.38\%, 24.62\%, 21.54\%, 15.38\%, 7.69\%, 3.08\%] \][/tex]
#### Identificaciones:
a) Amplitud del Intervalo: 10
b) Número de Intervalos: 7
c) Rango: 70
### a) Marca de Clase
La marca de clase de un intervalo es el punto medio de dicho intervalo. Se calcula con la fórmula:
[tex]\[ \text{Marca de clase} = \frac{\text{límite inferior} + \text{límite superior}}{2} \][/tex]
Para cada intervalo, obtenemos:
- [50, 60): [tex]\[ \frac{50 + 60}{2} = 55.0 \][/tex]
- [60, 70): [tex]\[ \frac{60 + 70}{2} = 65.0 \][/tex]
- [70, 80): [tex]\[ \frac{70 + 80}{2} = 75.0 \][/tex]
- [80, 90): [tex]\[ \frac{80 + 90}{2} = 85.0 \][/tex]
- [90, 100): [tex]\[ \frac{90 + 100}{2} = 95.0 \][/tex]
- [100, 110): [tex]\[ \frac{100 + 110}{2} = 105.0 \][/tex]
- [110, 120): [tex]\[ \frac{110 + 120}{2} = 115.0 \][/tex]
Entonces, las marcas de clase son:
[tex]\[ [55.0, 65.0, 75.0, 85.0, 95.0, 105.0, 115.0] \][/tex]
### b) Frecuencia Absoluta Acumulada, Relativa y Porcentual
#### Frecuencia Absoluta Acumulada
La frecuencia absoluta acumulada se obtiene sumando las frecuencias absolutas de cada intervalo y de todos los anteriores.
[tex]\[ F_i = f_1 + f_2 + ... + f_i \][/tex]
Calculamos:
- [50, 60): 8
- [60, 70): 8 + 10 = 18
- [70, 80): 18 + 16 = 34
- [80, 90): 34 + 14 = 48
- [90, 100): 48 + 10 = 58
- [100, 110): 58 + 5 = 63
- [110, 120): 63 + 2 = 65
Las frecuencias acumuladas son:
[tex]\[ [8, 18, 34, 48, 58, 63, 65] \][/tex]
#### Frecuencia Relativa
La frecuencia relativa se obtiene dividiendo la frecuencia absoluta de cada intervalo entre la suma total de frecuencias absolutas.
[tex]\[ f'_i = \frac{f_i}{N} \][/tex]
Donde [tex]\(N = 65\)[/tex].
Calculamos:
- [50, 60): [tex]\[ \frac{8}{65} \approx 0.1231 \][/tex]
- [60, 70): [tex]\[ \frac{10}{65} \approx 0.1538 \][/tex]
- [70, 80): [tex]\[ \frac{16}{65} \approx 0.2462 \][/tex]
- [80, 90): [tex]\[ \frac{14}{65} \approx 0.2154 \][/tex]
- [90, 100): [tex]\[ \frac{10}{65} \approx 0.1538 \][/tex]
- [100, 110): [tex]\[ \frac{5}{65} \approx 0.0769 \][/tex]
- [110, 120): [tex]\[ \frac{2}{65} \approx 0.0308 \][/tex]
Las frecuencias relativas son:
[tex]\[ [0.1231, 0.1538, 0.2462, 0.2154, 0.1538, 0.0769, 0.0308] \][/tex]
#### Frecuencia Porcentual
La frecuencia porcentual es la frecuencia relativa multiplicada por 100.
[tex]\[ f''_i = f'_i \times 100 \][/tex]
Calculamos:
- [50, 60): [tex]\[ 0.1231 \times 100 \approx 12.31\%\][/tex]
- [60, 70): [tex]\[ 0.1538 \times 100 \approx 15.38\%\][/tex]
- [70, 80): [tex]\[ 0.2462 \times 100 \approx 24.62\%\][/tex]
- [80, 90): [tex]\[ 0.2154 \times 100 \approx 21.54\%\][/tex]
- [90, 100): [tex]\[ 0.1538 \times 100 \approx 15.38\% \][/tex]
- [100, 110): [tex]\[ 0.0769 \times 100 \approx 7.69\%\][/tex]
- [110, 120): [tex]\[ 0.0308 \times 100 \approx 3.08\%\][/tex]
Las frecuencias porcentuales son:
[tex]\[ [12.31\%, 15.38\%, 24.62\%, 21.54\%, 15.38\%, 7.69\%, 3.08\%] \][/tex]
### Identificación de Amplitud del Intervalo, Número de Intervalos y Rango
#### Amplitud del Intervalo
La amplitud del intervalo es la diferencia entre el límite superior y el límite inferior de un intervalo.
Para estos intervalos, todos tienen la misma amplitud:
[tex]\[ \text{Amplitud} = 60 - 50 = 10 \][/tex]
#### Número de Intervalos
El número de intervalos es el total de clases que hay en la tabla.
Aquí contamos 7 intervalos:
[tex]\[ \text{Número de intervalos} = 7 \][/tex]
#### Rango
El rango es la diferencia entre el límite superior del intervalo más alto y el límite inferior del intervalo más bajo.
[tex]\[ \text{Rango} = 120 - 50 = 70 \][/tex]
En resumen, las respuestas son:
### Resultados Finales:
#### a) Marca de Clase:
[tex]\[ [55.0, 65.0, 75.0, 85.0, 95.0, 105.0, 115.0] \][/tex]
#### b) Frecuencias:
- Absoluta Acumulada: [tex]\[ [8, 18, 34, 48, 58, 63, 65] \][/tex]
- Relativa: [tex]\[ [0.1231, 0.1538, 0.2462, 0.2154, 0.1538, 0.0769, 0.0308] \][/tex]
- Porcentual: [tex]\[ [12.31\%, 15.38\%, 24.62\%, 21.54\%, 15.38\%, 7.69\%, 3.08\%] \][/tex]
#### Identificaciones:
a) Amplitud del Intervalo: 10
b) Número de Intervalos: 7
c) Rango: 70
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