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Después de introducir un medicamento especial en un plato de Petri con un cultivo de bacterias, el número de bacterias restantes en el plato decrece rápidamente.

La población de bacterias pierde [tex]\frac{1}{4}[/tex] de su tamaño cada 44 segundos, y su número puede modelarse con una función, [tex]N[/tex], que depende del tiempo transcurrido, [tex]t[/tex] (en segundos).

Antes de introducir el medicamento, había 11,880 bacterias en el plato de Petri.

Escribe una función que modele el número de bacterias restantes [tex]t[/tex] segundos después de introducir el medicamento.

Sagot :

GinnyAnswer
Para modelar el número de bacterias restantes en un plato de Petri después de introducir un medicamento que hace que la población decrezca rápidamente, vamos a usar una función que representa la descomposición exponencial.

### Supuestos y Observaciones:
1. Al inicio, había 11,880 bacterias en el plato de Petri. Esto es nuestro valor inicial, [tex]\( N_0 = 11880 \)[/tex].
2. La población de bacterias pierde [tex]\( \frac{1}{4} \)[/tex] de su tamaño cada 44 segundos. Esto implica que cada 44 segundos, solo queda [tex]\( \frac{3}{4} \)[/tex] de la población.

### Paso 1: Comprender la Decaída Exponencial
La decaída exponencial se puede modelar mediante una función de la siguiente forma:
[tex]\[ N(t) = N_0 \cdot e^{kt} \][/tex]

Donde [tex]\( N(t) \)[/tex] es el número de bacterias en el tiempo [tex]\( t \)[/tex], [tex]\( N_0 \)[/tex] es el número inicial de bacterias, y [tex]\( k \)[/tex] es la constante de decaimiento.

### Paso 2: Determinar la Constante de Decaimiento
Dado que sabemos que la estructura de la función es una decaída proporcional de [tex]\( \frac{3}{4} \)[/tex] cada 44 segundos, podemos simplificar el modelo usando:
[tex]\[ N(t) = N_0 \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^{\frac{t}{44}} \][/tex]

### Paso 3: Escribir la Función
Unimos toda la información en una función matemática completa. La función que modela el número de bacterias restantes [tex]\( t \)[/tex] segundos después sería:

[tex]\[ N(t) = 11880 \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^{\frac{t}{44}} \][/tex]

### Paso 4: Explicar Claramente la Función
- 11880 representa la cantidad inicial de bacterias.
- [tex]\( \frac{3}{4} \)[/tex] es el factor de decaimiento, indicando que cada 44 segundos la población se reduce a [tex]\( \frac{3}{4} \)[/tex] de su tamaño original.
- [tex]\( t/44 \)[/tex] ajusta el tiempo [tex]\( t \)[/tex] a los intervalos de 44 segundos. Esto normaliza el tiempo en unidades de intervalos de decaimiento.

### Resultado Final
La función que define el número de bacterias restantes en el plato de Petri después de [tex]\( t \)[/tex] segundos es:

[tex]\[ N(t) = 11880 \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^{\frac{t}{44}} \][/tex]

Esta función modela adecuadamente la descomposición exponencial observada en el plato de Petri debido al medicamento.
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