Westonci.ca is your go-to source for answers, with a community ready to provide accurate and timely information. Join our Q&A platform to connect with experts dedicated to providing accurate answers to your questions in various fields. Connect with a community of professionals ready to help you find accurate solutions to your questions quickly and efficiently.
Sagot :
Vamos a resolver los problemas paso a paso utilizando la información dada.
Para la primera secuencia:
Tenemos:
- Primer término [tex]\(a_1 = 13.5\)[/tex]
- Término [tex]\(n\)[/tex]-ésimo [tex]\(a_n = 26\)[/tex]
- Suma de los primeros [tex]\(n\)[/tex] términos [tex]\(S_n = 118.5\)[/tex]
Debemos encontrar el número de términos [tex]\(n\)[/tex] y la diferencia común [tex]\(d\)[/tex] de esta secuencia aritmética.
Primero, usamos la fórmula de la suma de una secuencia aritmética:
[tex]\[ S_n = \frac{n}{2} \left( a_1 + a_n \right) \][/tex]
Reemplazamos los valores conocidos:
[tex]\[ 118.5 = \frac{n}{2} \left( 13.5 + 26 \right) \][/tex]
[tex]\[ 118.5 = \frac{n}{2} \cdot 39.5 \][/tex]
[tex]\[ 118.5 = 19.75n \][/tex]
Despejamos [tex]\(n\)[/tex]:
[tex]\[ n = \frac{118.5}{19.75} \][/tex]
[tex]\[ n = 6 \][/tex]
Ya sabemos que [tex]\(n = 6\)[/tex]. Ahora vamos a encontrar la diferencia común [tex]\(d\)[/tex].
Usamos la fórmula para el término [tex]\(n\)[/tex]-ésimo de una secuencia aritmética:
[tex]\[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \][/tex]
Reemplazamos los valores conocidos:
[tex]\[ 26 = 13.5 + (6-1) \cdot d \][/tex]
[tex]\[ 26 = 13.5 + 5d \][/tex]
Despejamos [tex]\(d\)[/tex]:
[tex]\[ 26 - 13.5 = 5d \][/tex]
[tex]\[ 12.5 = 5d \][/tex]
[tex]\[ d = \frac{12.5}{5} \][/tex]
[tex]\[ d = 2.5 \][/tex]
Para la segunda secuencia:
Tenemos:
- Número de términos [tex]\(n = 6\)[/tex]
- Diferencia común [tex]\(d = -7\)[/tex]
- Término [tex]\(n\)[/tex]-ésimo [tex]\(a_n = 90\)[/tex]
Debemos encontrar el primer término [tex]\(a_1\)[/tex] y la suma de los primeros 6 términos [tex]\(S_6\)[/tex].
Usamos la fórmula para el término [tex]\(n\)[/tex]-ésimo:
[tex]\[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \][/tex]
Reemplazamos los valores conocidos:
[tex]\[ 90 = a_1 + (6-1) \cdot (-7) \][/tex]
[tex]\[ 90 = a_1 + 5 \cdot (-7) \][/tex]
[tex]\[ 90 = a_1 - 35 \][/tex]
Despejamos [tex]\(a_1\)[/tex]:
[tex]\[ a_1 = 90 + 35 \][/tex]
[tex]\[ a_1 = 125 \][/tex]
Finalmente, encontramos la suma de los primeros 6 términos usando la fórmula de la suma para una secuencia aritmética:
[tex]\[ S_n = \frac{n}{2} \left( 2a_1 + (n-1) \cdot d \right) \][/tex]
Reemplazamos los valores conocidos:
[tex]\[ S_6 = \frac{6}{2} \left( 2 \cdot 125 + (6-1) \cdot (-7) \right) \][/tex]
[tex]\[ S_6 = 3 \left( 250 + 5 \cdot (-7) \right) \][/tex]
[tex]\[ S_6 = 3 \left( 250 - 35 \right) \][/tex]
[tex]\[ S_6 = 3 \cdot 215 \][/tex]
[tex]\[ S_6 = 645 \][/tex]
En resumen:
- Para la primera secuencia, encontramos que [tex]\(n = 6\)[/tex] y [tex]\(d = 2.5\)[/tex].
- Para la segunda secuencia, encontramos que [tex]\(a_1 = 125\)[/tex] y [tex]\(S_6 = 645\)[/tex].
Para la primera secuencia:
Tenemos:
- Primer término [tex]\(a_1 = 13.5\)[/tex]
- Término [tex]\(n\)[/tex]-ésimo [tex]\(a_n = 26\)[/tex]
- Suma de los primeros [tex]\(n\)[/tex] términos [tex]\(S_n = 118.5\)[/tex]
Debemos encontrar el número de términos [tex]\(n\)[/tex] y la diferencia común [tex]\(d\)[/tex] de esta secuencia aritmética.
Primero, usamos la fórmula de la suma de una secuencia aritmética:
[tex]\[ S_n = \frac{n}{2} \left( a_1 + a_n \right) \][/tex]
Reemplazamos los valores conocidos:
[tex]\[ 118.5 = \frac{n}{2} \left( 13.5 + 26 \right) \][/tex]
[tex]\[ 118.5 = \frac{n}{2} \cdot 39.5 \][/tex]
[tex]\[ 118.5 = 19.75n \][/tex]
Despejamos [tex]\(n\)[/tex]:
[tex]\[ n = \frac{118.5}{19.75} \][/tex]
[tex]\[ n = 6 \][/tex]
Ya sabemos que [tex]\(n = 6\)[/tex]. Ahora vamos a encontrar la diferencia común [tex]\(d\)[/tex].
Usamos la fórmula para el término [tex]\(n\)[/tex]-ésimo de una secuencia aritmética:
[tex]\[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \][/tex]
Reemplazamos los valores conocidos:
[tex]\[ 26 = 13.5 + (6-1) \cdot d \][/tex]
[tex]\[ 26 = 13.5 + 5d \][/tex]
Despejamos [tex]\(d\)[/tex]:
[tex]\[ 26 - 13.5 = 5d \][/tex]
[tex]\[ 12.5 = 5d \][/tex]
[tex]\[ d = \frac{12.5}{5} \][/tex]
[tex]\[ d = 2.5 \][/tex]
Para la segunda secuencia:
Tenemos:
- Número de términos [tex]\(n = 6\)[/tex]
- Diferencia común [tex]\(d = -7\)[/tex]
- Término [tex]\(n\)[/tex]-ésimo [tex]\(a_n = 90\)[/tex]
Debemos encontrar el primer término [tex]\(a_1\)[/tex] y la suma de los primeros 6 términos [tex]\(S_6\)[/tex].
Usamos la fórmula para el término [tex]\(n\)[/tex]-ésimo:
[tex]\[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \][/tex]
Reemplazamos los valores conocidos:
[tex]\[ 90 = a_1 + (6-1) \cdot (-7) \][/tex]
[tex]\[ 90 = a_1 + 5 \cdot (-7) \][/tex]
[tex]\[ 90 = a_1 - 35 \][/tex]
Despejamos [tex]\(a_1\)[/tex]:
[tex]\[ a_1 = 90 + 35 \][/tex]
[tex]\[ a_1 = 125 \][/tex]
Finalmente, encontramos la suma de los primeros 6 términos usando la fórmula de la suma para una secuencia aritmética:
[tex]\[ S_n = \frac{n}{2} \left( 2a_1 + (n-1) \cdot d \right) \][/tex]
Reemplazamos los valores conocidos:
[tex]\[ S_6 = \frac{6}{2} \left( 2 \cdot 125 + (6-1) \cdot (-7) \right) \][/tex]
[tex]\[ S_6 = 3 \left( 250 + 5 \cdot (-7) \right) \][/tex]
[tex]\[ S_6 = 3 \left( 250 - 35 \right) \][/tex]
[tex]\[ S_6 = 3 \cdot 215 \][/tex]
[tex]\[ S_6 = 645 \][/tex]
En resumen:
- Para la primera secuencia, encontramos que [tex]\(n = 6\)[/tex] y [tex]\(d = 2.5\)[/tex].
- Para la segunda secuencia, encontramos que [tex]\(a_1 = 125\)[/tex] y [tex]\(S_6 = 645\)[/tex].
Visit us again for up-to-date and reliable answers. We're always ready to assist you with your informational needs. Thank you for visiting. Our goal is to provide the most accurate answers for all your informational needs. Come back soon. We're glad you visited Westonci.ca. Return anytime for updated answers from our knowledgeable team.
