¡Por supuesto! Vamos a resolver este ejercicio paso a paso.
Primero, vamos a escribir los polinomios dados:
1) [tex]\( f(x) = x^3 - 6x^2 + 15x - 14 \)[/tex]
2) [tex]\( g(x) = x^4 - 2x^3 - 8x^2 + 13x - 24 \)[/tex]
### Paso 1: Sumar los polinomios
Para sumar dos polinomios, sumamos los coeficientes de los términos de igual grado.
[tex]\[
f(x) + g(x) = (x^3 - 6x^2 + 15x - 14) + (x^4 - 2x^3 - 8x^2 + 13x - 24)
\][/tex]
Agrupamos los términos de igual grado:
[tex]\[
f(x) + g(x) = x^4 + x^3 - 2x^3 - 6x^2 - 8x^2 + 15x + 13x - 14 - 24
\][/tex]
Ahora sumamos los coeficientes correspondientes:
Para [tex]\(x^4\)[/tex]:
[tex]\[
1 \cdot x^4 = x^4
\][/tex]
Para [tex]\(x^3\)[/tex]:
[tex]\[
1 \cdot x^3 - 2 \cdot x^3 = -1 \cdot x^3 = -x^3
\][/tex]
Para [tex]\(x^2\)[/tex]:
[tex]\[
-6 \cdot x^2 - 8 \cdot x^2 = -14 \cdot x^2
\][/tex]
Para [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[
15 \cdot x + 13 \cdot x = 28 \cdot x
\][/tex]
Constantes:
[tex]\[
-14 - 24 = -38
\][/tex]
Entonces, la suma de los polinomios [tex]\(f(x) + g(x)\)[/tex] es:
[tex]\[
f(x) + g(x) = x^4 - x^3 - 14x^2 + 28x - 38
\][/tex]
### Paso 2: Comparar los grados de [tex]\(f(x)\)[/tex], [tex]\(g(x)\)[/tex] y [tex]\(f(x) + g(x)\)[/tex]
Definimos el grado de un polinomio como el mayor exponente de [tex]\(x\)[/tex] con un coeficiente no nulo.
- El grado de [tex]\(f(x) = x^3 - 6x^2 + 15x - 14\)[/tex] es 3, ya que el término con el mayor exponente es [tex]\(x^3\)[/tex].
- El grado de [tex]\(g(x) = x^4 - 2x^3 - 8x^2 + 13x - 24\)[/tex] es 4, ya que el término con el mayor exponente es [tex]\(x^4\)[/tex].
- El grado de [tex]\(f(x) + g(x) = x^4 - x^3 - 14x^2 + 28x - 38\)[/tex] es 4, ya que el término con el mayor exponente es [tex]\(x^4\)[/tex].
En resumen:
- Grado de [tex]\(f(x)\)[/tex] = 3
- Grado de [tex]\(g(x)\)[/tex] = 4
- Grado de [tex]\(f(x) + g(x)\)[/tex] = 4
### Conclusión
Hemos sumado los polinomios [tex]\(f(x)\)[/tex] y [tex]\(g(x)\)[/tex] y obtenido:
[tex]\[
f(x) + g(x) = x^4 - x^3 - 14x^2 + 28x - 38
\][/tex]
Comparamos los grados y encontramos que:
- El grado de [tex]\(f(x)\)[/tex] es 3.
- El grado de [tex]\(g(x)\)[/tex] es 4.
- El grado de [tex]\(f(x) + g(x)\)[/tex] es 4.
Este análisis concluye que la suma de los dos polinomios tiene el grado del polinomio de mayor grado entre los sumandos.
