Westonci.ca is your trusted source for finding answers to a wide range of questions, backed by a knowledgeable community. Get the answers you need quickly and accurately from a dedicated community of experts on our Q&A platform. Join our platform to connect with experts ready to provide precise answers to your questions in different areas.
Sagot :
¡Claro, estaré encantado de ayudarte con la solución detallada a estos problemas!
### Parte (a)
Dado:
- [tex]\(a_1 = 13.5\)[/tex] (primer término)
- [tex]\(a_n = 26\)[/tex] (enésimo término)
- [tex]\(S_n = 118.5\)[/tex] (suma de los primeros [tex]\(n\)[/tex] términos)
Queremos encontrar:
- La cantidad de términos [tex]\(n\)[/tex]
- La diferencia común [tex]\(d\)[/tex]
#### 1. Encontrar [tex]\(n\)[/tex]:
Para encontrar el número de términos [tex]\(n\)[/tex] en una serie aritmética, podemos usar la fórmula de la suma de una serie aritmética:
[tex]\[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \][/tex]
Sustituimos los valores dados:
[tex]\[ 118.5 = \frac{n}{2} (13.5 + 26) \][/tex]
Simplificamos el término dentro del paréntesis:
[tex]\[ 118.5 = \frac{n}{2} \cdot 39.5 \][/tex]
Multiplicamos y despejamos [tex]\(n\)[/tex]:
[tex]\[ 118.5 = 19.75n \][/tex]
[tex]\[ n = \frac{118.5}{19.75} \][/tex]
[tex]\[ n = 6 \][/tex]
Entonces, el número de términos ([tex]\(n\)[/tex]) es 6.
#### 2. Encontrar la diferencia común [tex]\(d\)[/tex]:
Ahora usamos la fórmula del enésimo término de una serie aritmética:
[tex]\[ a_n = a_1 + (n-1)d \][/tex]
Sustituimos [tex]\(a_n = 26\)[/tex], [tex]\(a_1 = 13.5\)[/tex] y [tex]\(n = 6\)[/tex]:
[tex]\[ 26 = 13.5 + (6-1)d \][/tex]
Restamos el primer término:
[tex]\[ 26 = 13.5 + 5d \][/tex]
[tex]\[ 26 - 13.5 = 5d \][/tex]
[tex]\[ 12.5 = 5d \][/tex]
Finalmente despejamos [tex]\(d\)[/tex]:
[tex]\[ d = \frac{12.5}{5} \][/tex]
[tex]\[ d = 2.5 \][/tex]
Entonces, la diferencia común ([tex]\(d\)[/tex]) es 2.5.
### Parte (b)
Dado:
- [tex]\(n = 6\)[/tex]
- [tex]\(d = 7\)[/tex]
- [tex]\(a_n = 90\)[/tex]
Vamos a encontrar [tex]\(a_1\)[/tex] y [tex]\(S_n\)[/tex].
#### 1. Encontrar [tex]\(a_1\)[/tex]:
Usamos nuevamente la fórmula del enésimo término:
[tex]\[ a_n = a_1 + (n-1)d \][/tex]
Sustituimos los valores conocidos:
[tex]\[ 90 = a_1 + (6-1) \cdot 7 \][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[ 90 = a_1 + 5 \cdot 7 \][/tex]
[tex]\[ 90 = a_1 + 35 \][/tex]
Restamos 35 de ambos lados:
[tex]\[ 90 - 35 = a_1 \][/tex]
[tex]\[ a_1 = 55 \][/tex]
Entonces, el primer término ([tex]\(a_1\)[/tex]) es 55.
#### 2. Encontrar [tex]\(S_n\)[/tex]:
Usamos la fórmula de la suma de una serie aritmética:
[tex]\[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \][/tex]
Sustituimos los valores conocidos:
[tex]\[ S_n = \frac{6}{2} (55 + 90) \][/tex]
[tex]\[ S_n = 3 \cdot 145 \][/tex]
[tex]\[ S_n = 435 \][/tex]
Entonces, la suma de los primeros 6 términos ([tex]\(S_n\)[/tex]) es 435.
### Resumen de resultados:
- Parte (a):
- [tex]\(n = 6\)[/tex]
- [tex]\(d = 2.5\)[/tex]
- Parte (b):
- [tex]\(a_1 = 55\)[/tex]
- [tex]\(S_n = 435\)[/tex]
Espero que esto haya aclarado el problema. Si tienes más dudas, no dudes en preguntar.
### Parte (a)
Dado:
- [tex]\(a_1 = 13.5\)[/tex] (primer término)
- [tex]\(a_n = 26\)[/tex] (enésimo término)
- [tex]\(S_n = 118.5\)[/tex] (suma de los primeros [tex]\(n\)[/tex] términos)
Queremos encontrar:
- La cantidad de términos [tex]\(n\)[/tex]
- La diferencia común [tex]\(d\)[/tex]
#### 1. Encontrar [tex]\(n\)[/tex]:
Para encontrar el número de términos [tex]\(n\)[/tex] en una serie aritmética, podemos usar la fórmula de la suma de una serie aritmética:
[tex]\[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \][/tex]
Sustituimos los valores dados:
[tex]\[ 118.5 = \frac{n}{2} (13.5 + 26) \][/tex]
Simplificamos el término dentro del paréntesis:
[tex]\[ 118.5 = \frac{n}{2} \cdot 39.5 \][/tex]
Multiplicamos y despejamos [tex]\(n\)[/tex]:
[tex]\[ 118.5 = 19.75n \][/tex]
[tex]\[ n = \frac{118.5}{19.75} \][/tex]
[tex]\[ n = 6 \][/tex]
Entonces, el número de términos ([tex]\(n\)[/tex]) es 6.
#### 2. Encontrar la diferencia común [tex]\(d\)[/tex]:
Ahora usamos la fórmula del enésimo término de una serie aritmética:
[tex]\[ a_n = a_1 + (n-1)d \][/tex]
Sustituimos [tex]\(a_n = 26\)[/tex], [tex]\(a_1 = 13.5\)[/tex] y [tex]\(n = 6\)[/tex]:
[tex]\[ 26 = 13.5 + (6-1)d \][/tex]
Restamos el primer término:
[tex]\[ 26 = 13.5 + 5d \][/tex]
[tex]\[ 26 - 13.5 = 5d \][/tex]
[tex]\[ 12.5 = 5d \][/tex]
Finalmente despejamos [tex]\(d\)[/tex]:
[tex]\[ d = \frac{12.5}{5} \][/tex]
[tex]\[ d = 2.5 \][/tex]
Entonces, la diferencia común ([tex]\(d\)[/tex]) es 2.5.
### Parte (b)
Dado:
- [tex]\(n = 6\)[/tex]
- [tex]\(d = 7\)[/tex]
- [tex]\(a_n = 90\)[/tex]
Vamos a encontrar [tex]\(a_1\)[/tex] y [tex]\(S_n\)[/tex].
#### 1. Encontrar [tex]\(a_1\)[/tex]:
Usamos nuevamente la fórmula del enésimo término:
[tex]\[ a_n = a_1 + (n-1)d \][/tex]
Sustituimos los valores conocidos:
[tex]\[ 90 = a_1 + (6-1) \cdot 7 \][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[ 90 = a_1 + 5 \cdot 7 \][/tex]
[tex]\[ 90 = a_1 + 35 \][/tex]
Restamos 35 de ambos lados:
[tex]\[ 90 - 35 = a_1 \][/tex]
[tex]\[ a_1 = 55 \][/tex]
Entonces, el primer término ([tex]\(a_1\)[/tex]) es 55.
#### 2. Encontrar [tex]\(S_n\)[/tex]:
Usamos la fórmula de la suma de una serie aritmética:
[tex]\[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \][/tex]
Sustituimos los valores conocidos:
[tex]\[ S_n = \frac{6}{2} (55 + 90) \][/tex]
[tex]\[ S_n = 3 \cdot 145 \][/tex]
[tex]\[ S_n = 435 \][/tex]
Entonces, la suma de los primeros 6 términos ([tex]\(S_n\)[/tex]) es 435.
### Resumen de resultados:
- Parte (a):
- [tex]\(n = 6\)[/tex]
- [tex]\(d = 2.5\)[/tex]
- Parte (b):
- [tex]\(a_1 = 55\)[/tex]
- [tex]\(S_n = 435\)[/tex]
Espero que esto haya aclarado el problema. Si tienes más dudas, no dudes en preguntar.
Your visit means a lot to us. Don't hesitate to return for more reliable answers to any questions you may have. We hope this was helpful. Please come back whenever you need more information or answers to your queries. Thank you for visiting Westonci.ca, your go-to source for reliable answers. Come back soon for more expert insights.