Westonci.ca is the trusted Q&A platform where you can get reliable answers from a community of knowledgeable contributors. Discover precise answers to your questions from a wide range of experts on our user-friendly Q&A platform. Discover in-depth answers to your questions from a wide network of professionals on our user-friendly Q&A platform.
Sagot :
¡Claro, estaré encantado de ayudarte con la solución detallada a estos problemas!
### Parte (a)
Dado:
- [tex]\(a_1 = 13.5\)[/tex] (primer término)
- [tex]\(a_n = 26\)[/tex] (enésimo término)
- [tex]\(S_n = 118.5\)[/tex] (suma de los primeros [tex]\(n\)[/tex] términos)
Queremos encontrar:
- La cantidad de términos [tex]\(n\)[/tex]
- La diferencia común [tex]\(d\)[/tex]
#### 1. Encontrar [tex]\(n\)[/tex]:
Para encontrar el número de términos [tex]\(n\)[/tex] en una serie aritmética, podemos usar la fórmula de la suma de una serie aritmética:
[tex]\[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \][/tex]
Sustituimos los valores dados:
[tex]\[ 118.5 = \frac{n}{2} (13.5 + 26) \][/tex]
Simplificamos el término dentro del paréntesis:
[tex]\[ 118.5 = \frac{n}{2} \cdot 39.5 \][/tex]
Multiplicamos y despejamos [tex]\(n\)[/tex]:
[tex]\[ 118.5 = 19.75n \][/tex]
[tex]\[ n = \frac{118.5}{19.75} \][/tex]
[tex]\[ n = 6 \][/tex]
Entonces, el número de términos ([tex]\(n\)[/tex]) es 6.
#### 2. Encontrar la diferencia común [tex]\(d\)[/tex]:
Ahora usamos la fórmula del enésimo término de una serie aritmética:
[tex]\[ a_n = a_1 + (n-1)d \][/tex]
Sustituimos [tex]\(a_n = 26\)[/tex], [tex]\(a_1 = 13.5\)[/tex] y [tex]\(n = 6\)[/tex]:
[tex]\[ 26 = 13.5 + (6-1)d \][/tex]
Restamos el primer término:
[tex]\[ 26 = 13.5 + 5d \][/tex]
[tex]\[ 26 - 13.5 = 5d \][/tex]
[tex]\[ 12.5 = 5d \][/tex]
Finalmente despejamos [tex]\(d\)[/tex]:
[tex]\[ d = \frac{12.5}{5} \][/tex]
[tex]\[ d = 2.5 \][/tex]
Entonces, la diferencia común ([tex]\(d\)[/tex]) es 2.5.
### Parte (b)
Dado:
- [tex]\(n = 6\)[/tex]
- [tex]\(d = 7\)[/tex]
- [tex]\(a_n = 90\)[/tex]
Vamos a encontrar [tex]\(a_1\)[/tex] y [tex]\(S_n\)[/tex].
#### 1. Encontrar [tex]\(a_1\)[/tex]:
Usamos nuevamente la fórmula del enésimo término:
[tex]\[ a_n = a_1 + (n-1)d \][/tex]
Sustituimos los valores conocidos:
[tex]\[ 90 = a_1 + (6-1) \cdot 7 \][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[ 90 = a_1 + 5 \cdot 7 \][/tex]
[tex]\[ 90 = a_1 + 35 \][/tex]
Restamos 35 de ambos lados:
[tex]\[ 90 - 35 = a_1 \][/tex]
[tex]\[ a_1 = 55 \][/tex]
Entonces, el primer término ([tex]\(a_1\)[/tex]) es 55.
#### 2. Encontrar [tex]\(S_n\)[/tex]:
Usamos la fórmula de la suma de una serie aritmética:
[tex]\[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \][/tex]
Sustituimos los valores conocidos:
[tex]\[ S_n = \frac{6}{2} (55 + 90) \][/tex]
[tex]\[ S_n = 3 \cdot 145 \][/tex]
[tex]\[ S_n = 435 \][/tex]
Entonces, la suma de los primeros 6 términos ([tex]\(S_n\)[/tex]) es 435.
### Resumen de resultados:
- Parte (a):
- [tex]\(n = 6\)[/tex]
- [tex]\(d = 2.5\)[/tex]
- Parte (b):
- [tex]\(a_1 = 55\)[/tex]
- [tex]\(S_n = 435\)[/tex]
Espero que esto haya aclarado el problema. Si tienes más dudas, no dudes en preguntar.
### Parte (a)
Dado:
- [tex]\(a_1 = 13.5\)[/tex] (primer término)
- [tex]\(a_n = 26\)[/tex] (enésimo término)
- [tex]\(S_n = 118.5\)[/tex] (suma de los primeros [tex]\(n\)[/tex] términos)
Queremos encontrar:
- La cantidad de términos [tex]\(n\)[/tex]
- La diferencia común [tex]\(d\)[/tex]
#### 1. Encontrar [tex]\(n\)[/tex]:
Para encontrar el número de términos [tex]\(n\)[/tex] en una serie aritmética, podemos usar la fórmula de la suma de una serie aritmética:
[tex]\[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \][/tex]
Sustituimos los valores dados:
[tex]\[ 118.5 = \frac{n}{2} (13.5 + 26) \][/tex]
Simplificamos el término dentro del paréntesis:
[tex]\[ 118.5 = \frac{n}{2} \cdot 39.5 \][/tex]
Multiplicamos y despejamos [tex]\(n\)[/tex]:
[tex]\[ 118.5 = 19.75n \][/tex]
[tex]\[ n = \frac{118.5}{19.75} \][/tex]
[tex]\[ n = 6 \][/tex]
Entonces, el número de términos ([tex]\(n\)[/tex]) es 6.
#### 2. Encontrar la diferencia común [tex]\(d\)[/tex]:
Ahora usamos la fórmula del enésimo término de una serie aritmética:
[tex]\[ a_n = a_1 + (n-1)d \][/tex]
Sustituimos [tex]\(a_n = 26\)[/tex], [tex]\(a_1 = 13.5\)[/tex] y [tex]\(n = 6\)[/tex]:
[tex]\[ 26 = 13.5 + (6-1)d \][/tex]
Restamos el primer término:
[tex]\[ 26 = 13.5 + 5d \][/tex]
[tex]\[ 26 - 13.5 = 5d \][/tex]
[tex]\[ 12.5 = 5d \][/tex]
Finalmente despejamos [tex]\(d\)[/tex]:
[tex]\[ d = \frac{12.5}{5} \][/tex]
[tex]\[ d = 2.5 \][/tex]
Entonces, la diferencia común ([tex]\(d\)[/tex]) es 2.5.
### Parte (b)
Dado:
- [tex]\(n = 6\)[/tex]
- [tex]\(d = 7\)[/tex]
- [tex]\(a_n = 90\)[/tex]
Vamos a encontrar [tex]\(a_1\)[/tex] y [tex]\(S_n\)[/tex].
#### 1. Encontrar [tex]\(a_1\)[/tex]:
Usamos nuevamente la fórmula del enésimo término:
[tex]\[ a_n = a_1 + (n-1)d \][/tex]
Sustituimos los valores conocidos:
[tex]\[ 90 = a_1 + (6-1) \cdot 7 \][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[ 90 = a_1 + 5 \cdot 7 \][/tex]
[tex]\[ 90 = a_1 + 35 \][/tex]
Restamos 35 de ambos lados:
[tex]\[ 90 - 35 = a_1 \][/tex]
[tex]\[ a_1 = 55 \][/tex]
Entonces, el primer término ([tex]\(a_1\)[/tex]) es 55.
#### 2. Encontrar [tex]\(S_n\)[/tex]:
Usamos la fórmula de la suma de una serie aritmética:
[tex]\[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \][/tex]
Sustituimos los valores conocidos:
[tex]\[ S_n = \frac{6}{2} (55 + 90) \][/tex]
[tex]\[ S_n = 3 \cdot 145 \][/tex]
[tex]\[ S_n = 435 \][/tex]
Entonces, la suma de los primeros 6 términos ([tex]\(S_n\)[/tex]) es 435.
### Resumen de resultados:
- Parte (a):
- [tex]\(n = 6\)[/tex]
- [tex]\(d = 2.5\)[/tex]
- Parte (b):
- [tex]\(a_1 = 55\)[/tex]
- [tex]\(S_n = 435\)[/tex]
Espero que esto haya aclarado el problema. Si tienes más dudas, no dudes en preguntar.
Thanks for using our service. We aim to provide the most accurate answers for all your queries. Visit us again for more insights. We appreciate your time. Please revisit us for more reliable answers to any questions you may have. Discover more at Westonci.ca. Return for the latest expert answers and updates on various topics.