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Sagot :
¡Claro, estaré encantado de ayudarte con la solución detallada a estos problemas!
### Parte (a)
Dado:
- [tex]\(a_1 = 13.5\)[/tex] (primer término)
- [tex]\(a_n = 26\)[/tex] (enésimo término)
- [tex]\(S_n = 118.5\)[/tex] (suma de los primeros [tex]\(n\)[/tex] términos)
Queremos encontrar:
- La cantidad de términos [tex]\(n\)[/tex]
- La diferencia común [tex]\(d\)[/tex]
#### 1. Encontrar [tex]\(n\)[/tex]:
Para encontrar el número de términos [tex]\(n\)[/tex] en una serie aritmética, podemos usar la fórmula de la suma de una serie aritmética:
[tex]\[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \][/tex]
Sustituimos los valores dados:
[tex]\[ 118.5 = \frac{n}{2} (13.5 + 26) \][/tex]
Simplificamos el término dentro del paréntesis:
[tex]\[ 118.5 = \frac{n}{2} \cdot 39.5 \][/tex]
Multiplicamos y despejamos [tex]\(n\)[/tex]:
[tex]\[ 118.5 = 19.75n \][/tex]
[tex]\[ n = \frac{118.5}{19.75} \][/tex]
[tex]\[ n = 6 \][/tex]
Entonces, el número de términos ([tex]\(n\)[/tex]) es 6.
#### 2. Encontrar la diferencia común [tex]\(d\)[/tex]:
Ahora usamos la fórmula del enésimo término de una serie aritmética:
[tex]\[ a_n = a_1 + (n-1)d \][/tex]
Sustituimos [tex]\(a_n = 26\)[/tex], [tex]\(a_1 = 13.5\)[/tex] y [tex]\(n = 6\)[/tex]:
[tex]\[ 26 = 13.5 + (6-1)d \][/tex]
Restamos el primer término:
[tex]\[ 26 = 13.5 + 5d \][/tex]
[tex]\[ 26 - 13.5 = 5d \][/tex]
[tex]\[ 12.5 = 5d \][/tex]
Finalmente despejamos [tex]\(d\)[/tex]:
[tex]\[ d = \frac{12.5}{5} \][/tex]
[tex]\[ d = 2.5 \][/tex]
Entonces, la diferencia común ([tex]\(d\)[/tex]) es 2.5.
### Parte (b)
Dado:
- [tex]\(n = 6\)[/tex]
- [tex]\(d = 7\)[/tex]
- [tex]\(a_n = 90\)[/tex]
Vamos a encontrar [tex]\(a_1\)[/tex] y [tex]\(S_n\)[/tex].
#### 1. Encontrar [tex]\(a_1\)[/tex]:
Usamos nuevamente la fórmula del enésimo término:
[tex]\[ a_n = a_1 + (n-1)d \][/tex]
Sustituimos los valores conocidos:
[tex]\[ 90 = a_1 + (6-1) \cdot 7 \][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[ 90 = a_1 + 5 \cdot 7 \][/tex]
[tex]\[ 90 = a_1 + 35 \][/tex]
Restamos 35 de ambos lados:
[tex]\[ 90 - 35 = a_1 \][/tex]
[tex]\[ a_1 = 55 \][/tex]
Entonces, el primer término ([tex]\(a_1\)[/tex]) es 55.
#### 2. Encontrar [tex]\(S_n\)[/tex]:
Usamos la fórmula de la suma de una serie aritmética:
[tex]\[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \][/tex]
Sustituimos los valores conocidos:
[tex]\[ S_n = \frac{6}{2} (55 + 90) \][/tex]
[tex]\[ S_n = 3 \cdot 145 \][/tex]
[tex]\[ S_n = 435 \][/tex]
Entonces, la suma de los primeros 6 términos ([tex]\(S_n\)[/tex]) es 435.
### Resumen de resultados:
- Parte (a):
- [tex]\(n = 6\)[/tex]
- [tex]\(d = 2.5\)[/tex]
- Parte (b):
- [tex]\(a_1 = 55\)[/tex]
- [tex]\(S_n = 435\)[/tex]
Espero que esto haya aclarado el problema. Si tienes más dudas, no dudes en preguntar.
### Parte (a)
Dado:
- [tex]\(a_1 = 13.5\)[/tex] (primer término)
- [tex]\(a_n = 26\)[/tex] (enésimo término)
- [tex]\(S_n = 118.5\)[/tex] (suma de los primeros [tex]\(n\)[/tex] términos)
Queremos encontrar:
- La cantidad de términos [tex]\(n\)[/tex]
- La diferencia común [tex]\(d\)[/tex]
#### 1. Encontrar [tex]\(n\)[/tex]:
Para encontrar el número de términos [tex]\(n\)[/tex] en una serie aritmética, podemos usar la fórmula de la suma de una serie aritmética:
[tex]\[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \][/tex]
Sustituimos los valores dados:
[tex]\[ 118.5 = \frac{n}{2} (13.5 + 26) \][/tex]
Simplificamos el término dentro del paréntesis:
[tex]\[ 118.5 = \frac{n}{2} \cdot 39.5 \][/tex]
Multiplicamos y despejamos [tex]\(n\)[/tex]:
[tex]\[ 118.5 = 19.75n \][/tex]
[tex]\[ n = \frac{118.5}{19.75} \][/tex]
[tex]\[ n = 6 \][/tex]
Entonces, el número de términos ([tex]\(n\)[/tex]) es 6.
#### 2. Encontrar la diferencia común [tex]\(d\)[/tex]:
Ahora usamos la fórmula del enésimo término de una serie aritmética:
[tex]\[ a_n = a_1 + (n-1)d \][/tex]
Sustituimos [tex]\(a_n = 26\)[/tex], [tex]\(a_1 = 13.5\)[/tex] y [tex]\(n = 6\)[/tex]:
[tex]\[ 26 = 13.5 + (6-1)d \][/tex]
Restamos el primer término:
[tex]\[ 26 = 13.5 + 5d \][/tex]
[tex]\[ 26 - 13.5 = 5d \][/tex]
[tex]\[ 12.5 = 5d \][/tex]
Finalmente despejamos [tex]\(d\)[/tex]:
[tex]\[ d = \frac{12.5}{5} \][/tex]
[tex]\[ d = 2.5 \][/tex]
Entonces, la diferencia común ([tex]\(d\)[/tex]) es 2.5.
### Parte (b)
Dado:
- [tex]\(n = 6\)[/tex]
- [tex]\(d = 7\)[/tex]
- [tex]\(a_n = 90\)[/tex]
Vamos a encontrar [tex]\(a_1\)[/tex] y [tex]\(S_n\)[/tex].
#### 1. Encontrar [tex]\(a_1\)[/tex]:
Usamos nuevamente la fórmula del enésimo término:
[tex]\[ a_n = a_1 + (n-1)d \][/tex]
Sustituimos los valores conocidos:
[tex]\[ 90 = a_1 + (6-1) \cdot 7 \][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[ 90 = a_1 + 5 \cdot 7 \][/tex]
[tex]\[ 90 = a_1 + 35 \][/tex]
Restamos 35 de ambos lados:
[tex]\[ 90 - 35 = a_1 \][/tex]
[tex]\[ a_1 = 55 \][/tex]
Entonces, el primer término ([tex]\(a_1\)[/tex]) es 55.
#### 2. Encontrar [tex]\(S_n\)[/tex]:
Usamos la fórmula de la suma de una serie aritmética:
[tex]\[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \][/tex]
Sustituimos los valores conocidos:
[tex]\[ S_n = \frac{6}{2} (55 + 90) \][/tex]
[tex]\[ S_n = 3 \cdot 145 \][/tex]
[tex]\[ S_n = 435 \][/tex]
Entonces, la suma de los primeros 6 términos ([tex]\(S_n\)[/tex]) es 435.
### Resumen de resultados:
- Parte (a):
- [tex]\(n = 6\)[/tex]
- [tex]\(d = 2.5\)[/tex]
- Parte (b):
- [tex]\(a_1 = 55\)[/tex]
- [tex]\(S_n = 435\)[/tex]
Espero que esto haya aclarado el problema. Si tienes más dudas, no dudes en preguntar.
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