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Sagot :
Vamos resolver os dois problemas apresentados.
### Problema 1: Conjunto solução da condição [tex]$\log_2(x^2 - 3x + 2) < 1$[/tex]
Para resolver a inequação [tex]$\log_2(x^2 - 3x + 2) < 1$[/tex], começamos isolando a expressão.
1. Transformando a inequação:
A inequação original é dada por:
[tex]\[ \log_2(x^2 - 3x + 2) < 1 \][/tex]
2. Mudando a base logarítmica:
Podemos reescrever a inequação na forma exponencial:
[tex]\[ x^2 - 3x + 2 < 2^1 \][/tex]
Sabemos que [tex]\(2^1 = 2\)[/tex]. Isso nos dá:
[tex]\[ x^2 - 3x + 2 < 2 \][/tex]
3. Resolvendo a inequação quadrática:
Subtraímos 2 de ambos os lados da inequação:
[tex]\[ x^2 - 3x + 2 - 2 < 0 \][/tex]
Simplificando:
[tex]\[ x^2 - 3x < 0 \][/tex]
4. Fatorando a expressão:
Fatorando, temos:
[tex]\[ x(x - 3) < 0 \][/tex]
Para encontrar onde a expressão [tex]\(x(x - 3) < 0\)[/tex] é negativa, precisamos analisar os pontos críticos [tex]\(x = 0\)[/tex] e [tex]\(x = 3\)[/tex].
5. Analisando os intervalos críticos:
São considerados os sinais nos intervalos determinados pelos pontos críticos [tex]\(x = 0\)[/tex] e [tex]\(x = 3\)[/tex]:
- Para [tex]\(x < 0\)[/tex]:
[tex]\( (x)(x - 3) \quad - \infectious)* (x - 3) \)[/tex];
- Para [tex]\(0 < x < 3\)[/tex]: A expressão [tex]\(x(x - 3)\)[/tex] é negativa (positivo multiplicado por um negativo).
- Para [tex]\(x > 3\)[/tex]: A expressão [tex]\(x(x - 3)\)[/tex] é positiva (positivo multiplicado positivo).
6. Conclusão:
Portanto, a solução da inequação é o intervalo em que o produto é negativo:
[tex]\[ 0 < x < 3 \][/tex]
Assim, o conjunto solução é [tex]\( (0, 3) \)[/tex], ou na notação correta:
#### ; Husting on alternativa correta é: B\) [tex]\(]0,3[\)[/tex]
### Problema 2: Calcular [tex]\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 x}{e^x-e^{2 x}}\)[/tex]
O objetivo aqui é calcular o limite:
[tex]\[ \lim_{x \to 0} \frac{3x}{e^x - e^{2x}} \][/tex]
O valor deste limite é:
[tex]\[ \lim_{x \to 0} \frac{3x}{e^x - e^{2x}} = -3 \][/tex]
## Resumo
- Problema 1: O conjunto solução é a alternativa [tex]\(B\)[/tex] [tex]\(]0,3[\)[/tex].
- Problema 2: O limite [tex]\(\lim_{x \rightarrow 0} \frac{3x}{e^x - e^{2x}}\)[/tex] é igual a [tex]\(-3\)[/tex].
Estas são as soluções detalhadas para os dois problemas apresentados.
### Problema 1: Conjunto solução da condição [tex]$\log_2(x^2 - 3x + 2) < 1$[/tex]
Para resolver a inequação [tex]$\log_2(x^2 - 3x + 2) < 1$[/tex], começamos isolando a expressão.
1. Transformando a inequação:
A inequação original é dada por:
[tex]\[ \log_2(x^2 - 3x + 2) < 1 \][/tex]
2. Mudando a base logarítmica:
Podemos reescrever a inequação na forma exponencial:
[tex]\[ x^2 - 3x + 2 < 2^1 \][/tex]
Sabemos que [tex]\(2^1 = 2\)[/tex]. Isso nos dá:
[tex]\[ x^2 - 3x + 2 < 2 \][/tex]
3. Resolvendo a inequação quadrática:
Subtraímos 2 de ambos os lados da inequação:
[tex]\[ x^2 - 3x + 2 - 2 < 0 \][/tex]
Simplificando:
[tex]\[ x^2 - 3x < 0 \][/tex]
4. Fatorando a expressão:
Fatorando, temos:
[tex]\[ x(x - 3) < 0 \][/tex]
Para encontrar onde a expressão [tex]\(x(x - 3) < 0\)[/tex] é negativa, precisamos analisar os pontos críticos [tex]\(x = 0\)[/tex] e [tex]\(x = 3\)[/tex].
5. Analisando os intervalos críticos:
São considerados os sinais nos intervalos determinados pelos pontos críticos [tex]\(x = 0\)[/tex] e [tex]\(x = 3\)[/tex]:
- Para [tex]\(x < 0\)[/tex]:
[tex]\( (x)(x - 3) \quad - \infectious)* (x - 3) \)[/tex];
- Para [tex]\(0 < x < 3\)[/tex]: A expressão [tex]\(x(x - 3)\)[/tex] é negativa (positivo multiplicado por um negativo).
- Para [tex]\(x > 3\)[/tex]: A expressão [tex]\(x(x - 3)\)[/tex] é positiva (positivo multiplicado positivo).
6. Conclusão:
Portanto, a solução da inequação é o intervalo em que o produto é negativo:
[tex]\[ 0 < x < 3 \][/tex]
Assim, o conjunto solução é [tex]\( (0, 3) \)[/tex], ou na notação correta:
#### ; Husting on alternativa correta é: B\) [tex]\(]0,3[\)[/tex]
### Problema 2: Calcular [tex]\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 x}{e^x-e^{2 x}}\)[/tex]
O objetivo aqui é calcular o limite:
[tex]\[ \lim_{x \to 0} \frac{3x}{e^x - e^{2x}} \][/tex]
O valor deste limite é:
[tex]\[ \lim_{x \to 0} \frac{3x}{e^x - e^{2x}} = -3 \][/tex]
## Resumo
- Problema 1: O conjunto solução é a alternativa [tex]\(B\)[/tex] [tex]\(]0,3[\)[/tex].
- Problema 2: O limite [tex]\(\lim_{x \rightarrow 0} \frac{3x}{e^x - e^{2x}}\)[/tex] é igual a [tex]\(-3\)[/tex].
Estas são as soluções detalhadas para os dois problemas apresentados.
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