Claro, vamos resolver as duas questões apresentadas e entender detalhadamente cada passo.
### Questão 1:
Calcule o limite quando [tex]\( x \)[/tex] se aproxima de 0 da expressão [tex]\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 x}{e^x-e^{2 x}}\)[/tex].
#### Passo a Passo:
1. Expressão inicial: [tex]\(\frac{3x}{e^x - e^{2x}}\)[/tex].
2. Quando [tex]\( x \rightarrow 0 \)[/tex], both [tex]\( e^x \)[/tex] e [tex]\( e^{2x} \)[/tex] se aproximam de 1:
[tex]\[ e^x \approx 1 + x \quad \text{e} \quad e^{2x} \approx 1 + 2x \][/tex]
3. Substituindo essas aproximações na expressão temos:
[tex]\[ \frac{3x}{(1 + x) - (1 + 2x)} = \frac{3x}{1 + x - 1 - 2x} = \frac{3x}{-x} = -3 \][/tex]
4. Portanto, o limite é:
[tex]\[ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 x}{e^x - e^{2 x}} = -3 \][/tex]
### Questão 2:
Resolva a equação [tex]\( e^{x+2} + 2 = e^x + 2e^2 \)[/tex] e apresente o conjunto solução.
#### Passo a Passo:
1. Escreva a equação: [tex]\( e^{x+2} + 2 = e^x + 2e^2 \)[/tex].
2. Sabemos que [tex]\( e^{x+2} = e^x \cdot e^2 \)[/tex], então substituímos:
[tex]\[ e^x \cdot e^2 + 2 = e^x + 2e^2 \][/tex]
3. Simplificando, temos:
[tex]\[ e^x \cdot e^2 - e^x = 2e^2 - 2 \][/tex]
[tex]\[ e^x \cdot (e^2 - 1) = 2(e^2 - 1) \][/tex]
4. Dividindo ambos os lados por [tex]\( e^2 - 1 \)[/tex]:
[tex]\[ e^x = 2 \][/tex]
5. Tirando o logaritmo natural de ambos os lados:
[tex]\[ x = \ln(2) \][/tex]
Assim, o conjunto solução é:
[tex]\[ \{ \ln(2) \} \][/tex]
### Recapitulando:
1. [tex]\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 x}{e^x - e^{2 x}} = -3\)[/tex]
2. O conjunto solução da equação [tex]\( e^{x+2} + 2 = e^x + 2e^2 \)[/tex] é [tex]\(\{ \ln(2) \}\)[/tex]
Se precisar de mais alguma ajuda ou outras questões, estarei por aqui!
