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Sagot :
ठीक छ, हामी देय प्रश्नहरुको समाधान चरण-दर-चरण गरीन्छौं।
### भाग (a)
सरल गनुहोस् (Simplify) [tex]$\frac{1}{a + 2b} + \frac{2a}{a^2 - 4b^2}$[/tex]
सबैभन्दा पहिले [tex]$a^2 - 4b^2$[/tex] को विभाजक सरल गरौं। यो एक चतुर्भुज अन्तर फरक हो, जसलाई लेख्न सकिन्छ:
[tex]\[ a^2 - 4b^2 = (a - 2b)(a + 2b) \][/tex]
अतः अभिव्यक्ति यस्तो हुनेछ:
[tex]\[ \frac{1}{a + 2b} + \frac{2a}{(a - 2b)(a + 2b)} \][/tex]
पहिले अभिव्यक्तिहरूको साधारणिकीकरण गर्ने प्रयत्न गरौं। सामान्य तपाईद्वारा विभाजक बनाउनुहोस्:
[tex]\[ = \frac{(1) \cdot (a - 2b) + (2a)}{(a + 2b)(a - 2b)} \][/tex]
[tex]\[ = \frac{a - 2b + 2a}{a^2 - 4b^2} \][/tex]
[tex]\[ = \frac{3a - 2b}{a^2 - 4b^2} \][/tex]
यसरी, सरल अभिव्यक्ति:
[tex]\[ \frac{1}{a + 2b} + \frac{2a}{a^2 - 4b^2} = \frac{3a - 2b}{a^2 - 4b^2} \][/tex]
### भाग (b)
हल गर्नुहोस् (Solve) [tex]$4 \times 3^{x + 1} - 9^x = 27$[/tex]
सबैभन्दा पहिले, हामीले [tex]$9$[/tex] लाई आधार [tex]$3$[/tex] मा रीसक्राइब गर्न सक्छौं:
[tex]\[ 9^x = (3^2)^x = 3^{2x} \][/tex]
अत: समीकरण यो हुन्छ:
[tex]\[ 4 \cdot 3^{x + 1} - 3^{2x} = 27 \][/tex]
हामी जान्दछौं कि [tex]$27 = 3^3$[/tex], त्यसैले:
[tex]\[ 4 \cdot 3^{x + 1} - 3^{2x} = 3^3 \][/tex]
अब गुन्हाउनुभो 4 लाई खुलाउन आवश्यक छ:
[tex]\[ 4 \cdot 3 \cdot 3^x - 3^{2x} = 3^3 \][/tex]
[tex]\[ 12 \cdot 3^x - 3^{2x} = 27 \][/tex]
हामी यो समीकरणलाई सरल बनाउन प्रत्येक पक्षलाई [tex]$3^x$[/tex] द्वारा विभाजन गर्न सक्छौं:
[tex]\[ 12 - 3^x = \frac{27}{3^x} \][/tex]
हामी शक्ति [tex]$y = 3^x$[/tex] को रूपमा परिचालन गर्नुहोस्:
[tex]\[ 12 - y = \frac{27}{y} \][/tex]
यसलाई गुणांक गरेर प्रत्येक पक्षलाई [tex]$y$[/tex] द्वारा अर्को सरल समीकरण प्राप्त गर्न सक्दछौं:
[tex]\[ y(12 - y) = 27 \][/tex]
[tex]\[ 12y - y^2 = 27 \][/tex]
[tex]\[ y^2 - 12y + 27 = 0 \][/tex]
अहिले हामी यसलाई quadratic equation द्वारा समाधान गर्न सक्दछौं:
[tex]\[ y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 108}}{2} \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{12 \pm \sqrt{36}}{2} \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{12 \pm 6}{2} \][/tex]
यो दुई संभावित समाधान दिन्छ:
[tex]\[ y = 9 \quad \text{या} \quad y = 3 \][/tex]
त्यसैले, [tex]$y = 3^x$[/tex] हुनाले:
[tex]\[ 3^x = 9 \rightarrow x = 2 \][/tex]
[tex]\[ 3^x = 3 \rightarrow x = 1 \][/tex]
अतः समीकरणको समाधान हुन्छ [tex]$x = 1$[/tex] र [tex]$x = 2$[/tex]।
### अन्तिम उत्तर:
(a) [tex]$\frac{1}{a + 2b} + \frac{2a}{a^2 - 4b^2}$[/tex] सरल गरिएपछि [tex]$ \frac{3a - 2b}{a^2 - 4b^2}$[/tex]
(b) समीकरण [tex]$4 \times 3^{x + 1} - 9^x = 27$[/tex]को समाधान [tex]$x = 1$[/tex] र [tex]$x = 2$[/tex]
### भाग (a)
सरल गनुहोस् (Simplify) [tex]$\frac{1}{a + 2b} + \frac{2a}{a^2 - 4b^2}$[/tex]
सबैभन्दा पहिले [tex]$a^2 - 4b^2$[/tex] को विभाजक सरल गरौं। यो एक चतुर्भुज अन्तर फरक हो, जसलाई लेख्न सकिन्छ:
[tex]\[ a^2 - 4b^2 = (a - 2b)(a + 2b) \][/tex]
अतः अभिव्यक्ति यस्तो हुनेछ:
[tex]\[ \frac{1}{a + 2b} + \frac{2a}{(a - 2b)(a + 2b)} \][/tex]
पहिले अभिव्यक्तिहरूको साधारणिकीकरण गर्ने प्रयत्न गरौं। सामान्य तपाईद्वारा विभाजक बनाउनुहोस्:
[tex]\[ = \frac{(1) \cdot (a - 2b) + (2a)}{(a + 2b)(a - 2b)} \][/tex]
[tex]\[ = \frac{a - 2b + 2a}{a^2 - 4b^2} \][/tex]
[tex]\[ = \frac{3a - 2b}{a^2 - 4b^2} \][/tex]
यसरी, सरल अभिव्यक्ति:
[tex]\[ \frac{1}{a + 2b} + \frac{2a}{a^2 - 4b^2} = \frac{3a - 2b}{a^2 - 4b^2} \][/tex]
### भाग (b)
हल गर्नुहोस् (Solve) [tex]$4 \times 3^{x + 1} - 9^x = 27$[/tex]
सबैभन्दा पहिले, हामीले [tex]$9$[/tex] लाई आधार [tex]$3$[/tex] मा रीसक्राइब गर्न सक्छौं:
[tex]\[ 9^x = (3^2)^x = 3^{2x} \][/tex]
अत: समीकरण यो हुन्छ:
[tex]\[ 4 \cdot 3^{x + 1} - 3^{2x} = 27 \][/tex]
हामी जान्दछौं कि [tex]$27 = 3^3$[/tex], त्यसैले:
[tex]\[ 4 \cdot 3^{x + 1} - 3^{2x} = 3^3 \][/tex]
अब गुन्हाउनुभो 4 लाई खुलाउन आवश्यक छ:
[tex]\[ 4 \cdot 3 \cdot 3^x - 3^{2x} = 3^3 \][/tex]
[tex]\[ 12 \cdot 3^x - 3^{2x} = 27 \][/tex]
हामी यो समीकरणलाई सरल बनाउन प्रत्येक पक्षलाई [tex]$3^x$[/tex] द्वारा विभाजन गर्न सक्छौं:
[tex]\[ 12 - 3^x = \frac{27}{3^x} \][/tex]
हामी शक्ति [tex]$y = 3^x$[/tex] को रूपमा परिचालन गर्नुहोस्:
[tex]\[ 12 - y = \frac{27}{y} \][/tex]
यसलाई गुणांक गरेर प्रत्येक पक्षलाई [tex]$y$[/tex] द्वारा अर्को सरल समीकरण प्राप्त गर्न सक्दछौं:
[tex]\[ y(12 - y) = 27 \][/tex]
[tex]\[ 12y - y^2 = 27 \][/tex]
[tex]\[ y^2 - 12y + 27 = 0 \][/tex]
अहिले हामी यसलाई quadratic equation द्वारा समाधान गर्न सक्दछौं:
[tex]\[ y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 108}}{2} \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{12 \pm \sqrt{36}}{2} \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{12 \pm 6}{2} \][/tex]
यो दुई संभावित समाधान दिन्छ:
[tex]\[ y = 9 \quad \text{या} \quad y = 3 \][/tex]
त्यसैले, [tex]$y = 3^x$[/tex] हुनाले:
[tex]\[ 3^x = 9 \rightarrow x = 2 \][/tex]
[tex]\[ 3^x = 3 \rightarrow x = 1 \][/tex]
अतः समीकरणको समाधान हुन्छ [tex]$x = 1$[/tex] र [tex]$x = 2$[/tex]।
### अन्तिम उत्तर:
(a) [tex]$\frac{1}{a + 2b} + \frac{2a}{a^2 - 4b^2}$[/tex] सरल गरिएपछि [tex]$ \frac{3a - 2b}{a^2 - 4b^2}$[/tex]
(b) समीकरण [tex]$4 \times 3^{x + 1} - 9^x = 27$[/tex]को समाधान [tex]$x = 1$[/tex] र [tex]$x = 2$[/tex]
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