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Sagot :
Para determinar los puntos de intersección entre la gráfica de la función [tex]\( f(x) = |x-2| + x^2 \)[/tex] y la recta [tex]\( 3x - 2y = -11 \)[/tex], debemos resolver el sistema de ecuaciones formado por [tex]\( y = f(x) \)[/tex] y la ecuación de la recta [tex]\( 3x - 2y = -11 \)[/tex].
1. Escribir la ecuación de la función en términos de [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ y = |x-2| + x^2 \][/tex]
2. Sustituir [tex]\( y \)[/tex] en la ecuación de la recta:
[tex]\[ 3x - 2y = -11 \][/tex]
Sustituimos [tex]\( y = |x-2| + x^2 \)[/tex] en la ecuación de la recta:
[tex]\[ 3x - 2(|x-2| + x^2) = -11 \][/tex]
3. Resolver para [tex]\( x \)[/tex] considerando ambos casos de la función valor absoluto [tex]\( |x-2| \)[/tex]:
Caso 1: [tex]\( x \geq 2 \)[/tex]
[tex]\[ |x-2| = x-2 \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ 3x - 2((x-2) + x^2) = -11 \][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[ 3x - 2(x - 2 + x^2) = -11 \][/tex]
[tex]\[ 3x - 2x + 4 - 2x^2 = -11 \][/tex]
[tex]\[ x + 4 - 2x^2 = -11 \][/tex]
[tex]\[ -2x^2 + x + 15 = 0 \][/tex]
Multiplicamos por -1:
[tex]\[ 2x^2 - x - 15 = 0 \][/tex]
Esta es una ecuación cuadrática, la resolvemos usando la fórmula cuadrática:
[tex]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
donde [tex]\( a = 2 \)[/tex], [tex]\( b = -1 \)[/tex], y [tex]\( c = -15 \)[/tex].
[tex]\[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(2)(-15)}}{2(2)} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 120}}{4} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{121}}{4} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{1 \pm 11}{4} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{12}{4} = 3 \quad \text{o} \quad x = \frac{-10}{4} = -2.5 \][/tex]
Dado que [tex]\( x \geq 2 \)[/tex], el valor válido es [tex]\( x = 3 \)[/tex]. Ahora calculamos [tex]\( y \)[/tex] para [tex]\( x = 3 \)[/tex]:
[tex]\[ y = |3-2| + 3^2 = 1 + 9 = 10 \][/tex]
Así, uno de los puntos de intersección es [tex]\( (3, 10) \)[/tex].
Caso 2: [tex]\( x < 2 \)[/tex]
[tex]\[ |x-2| = 2-x \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ 3x - 2((2-x) + x^2) = -11 \][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[ 3x - 2(2 - x + x^2) = -11 \][/tex]
[tex]\[ 3x - 4 + 2x - 2x^2 = -11 \][/tex]
[tex]\[ 5x - 4 - 2x^2 = -11 \][/tex]
[tex]\[ -2x^2 + 5x + 7 = 0 \][/tex]
Multiplicamos por -1:
[tex]\[ 2x^2 - 5x - 7 = 0 \][/tex]
Otra ecuación cuadrática a resolver con la fórmula cuadrática:
[tex]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
donde [tex]\( a = 2 \)[/tex], [tex]\( b = -5 \)[/tex], y [tex]\( c = -7 \)[/tex].
[tex]\[ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(2)(-7)}}{2(2)} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 56}}{4} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{81}}{4} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{5 \pm 9}{4} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{14}{4} = 3.5 \quad \text{o} \quad x = \frac{-4}{4} = -1 \][/tex]
Dado que [tex]\( x < 2 \)[/tex], el valor válido es [tex]\( x = -1 \)[/tex]. Ahora calculamos [tex]\( y \)[/tex] para [tex]\( x = -1 \)[/tex]:
[tex]\[ y = | -1-2 | + (-1)^2 = 3 + 1 = 4 \][/tex]
Así, el otro punto de intersección es [tex]\( (-1, 4) \)[/tex].
Entonces, los puntos de intersección son:
[tex]\[ (3, 10) \quad \text{y} \quad (-1, 4) \][/tex]
1. Escribir la ecuación de la función en términos de [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ y = |x-2| + x^2 \][/tex]
2. Sustituir [tex]\( y \)[/tex] en la ecuación de la recta:
[tex]\[ 3x - 2y = -11 \][/tex]
Sustituimos [tex]\( y = |x-2| + x^2 \)[/tex] en la ecuación de la recta:
[tex]\[ 3x - 2(|x-2| + x^2) = -11 \][/tex]
3. Resolver para [tex]\( x \)[/tex] considerando ambos casos de la función valor absoluto [tex]\( |x-2| \)[/tex]:
Caso 1: [tex]\( x \geq 2 \)[/tex]
[tex]\[ |x-2| = x-2 \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ 3x - 2((x-2) + x^2) = -11 \][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[ 3x - 2(x - 2 + x^2) = -11 \][/tex]
[tex]\[ 3x - 2x + 4 - 2x^2 = -11 \][/tex]
[tex]\[ x + 4 - 2x^2 = -11 \][/tex]
[tex]\[ -2x^2 + x + 15 = 0 \][/tex]
Multiplicamos por -1:
[tex]\[ 2x^2 - x - 15 = 0 \][/tex]
Esta es una ecuación cuadrática, la resolvemos usando la fórmula cuadrática:
[tex]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
donde [tex]\( a = 2 \)[/tex], [tex]\( b = -1 \)[/tex], y [tex]\( c = -15 \)[/tex].
[tex]\[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(2)(-15)}}{2(2)} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 120}}{4} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{121}}{4} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{1 \pm 11}{4} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{12}{4} = 3 \quad \text{o} \quad x = \frac{-10}{4} = -2.5 \][/tex]
Dado que [tex]\( x \geq 2 \)[/tex], el valor válido es [tex]\( x = 3 \)[/tex]. Ahora calculamos [tex]\( y \)[/tex] para [tex]\( x = 3 \)[/tex]:
[tex]\[ y = |3-2| + 3^2 = 1 + 9 = 10 \][/tex]
Así, uno de los puntos de intersección es [tex]\( (3, 10) \)[/tex].
Caso 2: [tex]\( x < 2 \)[/tex]
[tex]\[ |x-2| = 2-x \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ 3x - 2((2-x) + x^2) = -11 \][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[ 3x - 2(2 - x + x^2) = -11 \][/tex]
[tex]\[ 3x - 4 + 2x - 2x^2 = -11 \][/tex]
[tex]\[ 5x - 4 - 2x^2 = -11 \][/tex]
[tex]\[ -2x^2 + 5x + 7 = 0 \][/tex]
Multiplicamos por -1:
[tex]\[ 2x^2 - 5x - 7 = 0 \][/tex]
Otra ecuación cuadrática a resolver con la fórmula cuadrática:
[tex]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
donde [tex]\( a = 2 \)[/tex], [tex]\( b = -5 \)[/tex], y [tex]\( c = -7 \)[/tex].
[tex]\[ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(2)(-7)}}{2(2)} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 56}}{4} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{81}}{4} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{5 \pm 9}{4} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{14}{4} = 3.5 \quad \text{o} \quad x = \frac{-4}{4} = -1 \][/tex]
Dado que [tex]\( x < 2 \)[/tex], el valor válido es [tex]\( x = -1 \)[/tex]. Ahora calculamos [tex]\( y \)[/tex] para [tex]\( x = -1 \)[/tex]:
[tex]\[ y = | -1-2 | + (-1)^2 = 3 + 1 = 4 \][/tex]
Así, el otro punto de intersección es [tex]\( (-1, 4) \)[/tex].
Entonces, los puntos de intersección son:
[tex]\[ (3, 10) \quad \text{y} \quad (-1, 4) \][/tex]
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