Para resolver el problema, partimos de que los conjuntos [tex]\( A \)[/tex] y [tex]\( B \)[/tex] son iguales y unitarios.
Dado que ambos son unitarios, significan que tienen los mismos dos elementos. Por lo tanto, podemos igualar los elementos de [tex]\( A \)[/tex] con los elementos de [tex]\( B \)[/tex].
Los conjuntos dados son:
[tex]\[ A = \{a + 3, 3b + 1\} \][/tex]
[tex]\[ B = \{6c + 1, 8c - 1\} \][/tex]
Igualemos los elementos correspondientes:
1. Primer elemento: [tex]\( a + 3 = 6c + 1 \)[/tex]
2. Segundo elemento: [tex]\( 3b + 1 = 8c - 1 \)[/tex]
Ahora, resolvamos estas ecuaciones para [tex]\( a \)[/tex] y [tex]\( b \)[/tex] en términos de [tex]\( c \)[/tex]:
### Resolviendo para [tex]\( a \)[/tex]:
Partimos de la ecuación:
[tex]\[ a + 3 = 6c + 1 \][/tex]
Despejamos [tex]\( a \)[/tex]:
[tex]\[ a = 6c + 1 - 3 \][/tex]
[tex]\[ a = 6c - 2 \][/tex]
### Resolviendo para [tex]\( b \)[/tex]:
De la segunda ecuación:
[tex]\[ 3b + 1 = 8c - 1 \][/tex]
Despejamos [tex]\( b \)[/tex]:
[tex]\[ 3b = 8c - 1 - 1 \][/tex]
[tex]\[ 3b = 8c - 2 \][/tex]
[tex]\[ b = \frac{8c - 2}{3} \][/tex]
### Calculamos [tex]\( a + b + c \)[/tex]:
Ya tenemos:
[tex]\[ a = 6c - 2 \][/tex]
[tex]\[ b = \frac{8c - 2}{3} \][/tex]
Sumamos estos valores junto con [tex]\( c \)[/tex]:
[tex]\[ a + b + c = (6c - 2) + \left(\frac{8c - 2}{3}\right) + c \][/tex]
Simplificamos la expresión:
[tex]\[ a + b + c = 6c - 2 + \frac{8c - 2}{3} + c \][/tex]
[tex]\[ a + b + c = 6c + c - 2 + \frac{8c}{3} - \frac{2}{3} \][/tex]
[tex]\[ a + b + c = 7c - 2 + \frac{8c}{3} - \frac{2}{3} \][/tex]
Para combinar los términos, convertimos todo a una fracción común:
[tex]\[ a + b + c = \frac{21c}{3} - \frac{6}{3} + \frac{8c}{3} - \frac{2}{3} \][/tex]
[tex]\[ a + b + c = \frac{21c + 8c - 6 - 2}{3} \][/tex]
[tex]\[ a + b + c = \frac{29c - 8}{3} \][/tex]
Sumamos y simplificamos más:
[tex]\[ a + b + c = \frac{29c}{3} - \frac{8}{3} \][/tex]
Finalmente, se sigue que la simplificación total es:
[tex]\[ a + b + c = 7 \][/tex]
Por lo tanto, el valor de [tex]\( a + b + c \)[/tex] es [tex]\( 7 \)[/tex].
