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Sagot :
Claro, vamos a resolver cada una de las ecuaciones cuadráticas usando el método indicado:
### A. [tex]\( x(2x - 3) - 3(5 - x) = 83 \)[/tex] (Fórmula cuadrática general)
Primero, simplificamos la ecuación:
[tex]\[ x(2x - 3) - 3(5 - x) = 83 \][/tex]
[tex]\[ 2x^2 - 3x - 15 + 3x = 83 \][/tex]
[tex]\[ 2x^2 - 15 = 83 \][/tex]
[tex]\[ 2x^2 - 15 - 83 = 0 \][/tex]
[tex]\[ 2x^2 - 98 = 0 \][/tex]
Aplicando la fórmula cuadrática:
[tex]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
Para la ecuación [tex]\( 2x^2 - 98 = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ a = 2, \; b = 0, \; c = -98 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{0 \pm \sqrt{0^2 - 4(2)(-98)}}{2(2)} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{\pm \sqrt{784}}{4} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{\pm 28}{4} \][/tex]
[tex]\[ x = 7 \; \text{y} \; x = -7 \][/tex]
### B. [tex]\( (2x + 5)(2x - 5) = 11 \)[/tex] (Fórmula cuadrática general)
Simplificando:
[tex]\[ (2x + 5)(2x - 5) = 11 \][/tex]
[tex]\[ 4x^2 - 25 = 11 \][/tex]
[tex]\[ 4x^2 - 36 = 0 \][/tex]
Aplicando la fórmula cuadrática:
Para la ecuación [tex]\( 4x^2 - 36 = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ a = 4, \; b = 0, \; c = -36 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{0 \pm \sqrt{0^2 - 4(4)(-36)}}{2(4)} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{\pm \sqrt{576}}{8} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{\pm 24}{8} \][/tex]
[tex]\[ x = 3 \; \text{y} \; x = -3 \][/tex]
### C. [tex]\( (x - 4)(x + 4) = 0 \)[/tex] (Fórmula cuadrática general)
Simplificando:
[tex]\[ (x - 4)(x + 4) = 0 \][/tex]
[tex]\[ x^2 - 16 = 0 \][/tex]
Aplicando la fórmula cuadrática:
Para la ecuación [tex]\( x^2 - 16 = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ a = 1, \; b = 0, \; c = -16 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{0 \pm \sqrt{0^2 - 4(1)(-16)}}{2(1)} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{\pm \sqrt{64}}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{\pm 8}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = 4 \; \text{y} \; x = -4 \][/tex]
### D. [tex]\( x(x + 10) + 25 = 0 \)[/tex] (Por factorización)
Simplificando y factorizando:
[tex]\[ x(x + 10) + 25 = 0 \][/tex]
[tex]\[ x^2 + 10x + 25 = 0 \][/tex]
[tex]\[ (x + 5)^2 = 0 \][/tex]
Resolviendo la factorización:
[tex]\[ x + 5 = 0 \][/tex]
[tex]\[ x = -5 \][/tex]
### E. [tex]\( 2x^2 - 13x - 24 = 0 \)[/tex] (Por factorización)
Factorizando:
[tex]\[ 2x^2 - 13x - 24 = 0 \][/tex]
[tex]\[ (2x + 3)(x - 8) = 0 \][/tex]
Resolviendo cada factor:
[tex]\[ 2x + 3 = 0 \][/tex]
[tex]\[ x = -\frac{3}{2} \][/tex]
[tex]\[ x - 8 = 0 \][/tex]
[tex]\[ x = 8 \][/tex]
### F. [tex]\( 4x^2 + 8x = 0 \)[/tex] (Por factorización)
Factorizando:
[tex]\[ 4x^2 + 8x = 0 \][/tex]
[tex]\[ 4x(x + 2) = 0 \][/tex]
Resolviendo cada factor:
[tex]\[ 4x = 0 \][/tex]
[tex]\[ x = 0 \][/tex]
[tex]\[ x + 2 = 0 \][/tex]
[tex]\[ x = -2 \][/tex]
### G. [tex]\( 2x^2 + 8x - 10 = 0 \)[/tex] (Fórmula cuadrática general)
Aplicando la fórmula cuadrática:
Para la ecuación [tex]\( 2x^2 + 8x - 10 = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ a = 2, \; b = 8, \; c = -10 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(2)(-10)}}{2(2)} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 80}}{4} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{144}}{4} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-8 \pm 12}{4} \][/tex]
[tex]\[ x = 1 \; \text{y} \; x = -5 \][/tex]
### H. [tex]\( 4x^2 + 5 = 2x^2 + 20 \)[/tex] (Por factorización)
Simplificando y factorizando:
[tex]\[ 4x^2 + 5 - 2x^2 - 20 = 0 \][/tex]
[tex]\[ 2x^2 - 15 = 0 \][/tex]
[tex]\[ 2x^2 = 15 \][/tex]
[tex]\[ x^2 = \frac{15}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \pm \sqrt{\frac{15}{2}} \][/tex]
[tex]\[ x = \pm \frac{\sqrt{30}}{2} \][/tex]
### I. [tex]\( x^2 = -5x - 6 \)[/tex] (Fórmula cuadrática general)
Re-escribiendo como ecuación cuadrática estándar:
[tex]\[ x^2 + 5x + 6 = 0 \][/tex]
Aplicando la fórmula cuadrática:
Para la ecuación [tex]\( x^2 + 5x + 6 = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ a = 1, \; b = 5, \; c = 6 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(1)(6)}}{2(1)} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-5 \pm 1}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = -2 \; \text{y} \; x = -3 \][/tex]
Estas son las soluciones para cada una de las ecuaciones cuadráticas dadas utilizando el método indicado.
### A. [tex]\( x(2x - 3) - 3(5 - x) = 83 \)[/tex] (Fórmula cuadrática general)
Primero, simplificamos la ecuación:
[tex]\[ x(2x - 3) - 3(5 - x) = 83 \][/tex]
[tex]\[ 2x^2 - 3x - 15 + 3x = 83 \][/tex]
[tex]\[ 2x^2 - 15 = 83 \][/tex]
[tex]\[ 2x^2 - 15 - 83 = 0 \][/tex]
[tex]\[ 2x^2 - 98 = 0 \][/tex]
Aplicando la fórmula cuadrática:
[tex]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
Para la ecuación [tex]\( 2x^2 - 98 = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ a = 2, \; b = 0, \; c = -98 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{0 \pm \sqrt{0^2 - 4(2)(-98)}}{2(2)} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{\pm \sqrt{784}}{4} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{\pm 28}{4} \][/tex]
[tex]\[ x = 7 \; \text{y} \; x = -7 \][/tex]
### B. [tex]\( (2x + 5)(2x - 5) = 11 \)[/tex] (Fórmula cuadrática general)
Simplificando:
[tex]\[ (2x + 5)(2x - 5) = 11 \][/tex]
[tex]\[ 4x^2 - 25 = 11 \][/tex]
[tex]\[ 4x^2 - 36 = 0 \][/tex]
Aplicando la fórmula cuadrática:
Para la ecuación [tex]\( 4x^2 - 36 = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ a = 4, \; b = 0, \; c = -36 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{0 \pm \sqrt{0^2 - 4(4)(-36)}}{2(4)} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{\pm \sqrt{576}}{8} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{\pm 24}{8} \][/tex]
[tex]\[ x = 3 \; \text{y} \; x = -3 \][/tex]
### C. [tex]\( (x - 4)(x + 4) = 0 \)[/tex] (Fórmula cuadrática general)
Simplificando:
[tex]\[ (x - 4)(x + 4) = 0 \][/tex]
[tex]\[ x^2 - 16 = 0 \][/tex]
Aplicando la fórmula cuadrática:
Para la ecuación [tex]\( x^2 - 16 = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ a = 1, \; b = 0, \; c = -16 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{0 \pm \sqrt{0^2 - 4(1)(-16)}}{2(1)} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{\pm \sqrt{64}}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{\pm 8}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = 4 \; \text{y} \; x = -4 \][/tex]
### D. [tex]\( x(x + 10) + 25 = 0 \)[/tex] (Por factorización)
Simplificando y factorizando:
[tex]\[ x(x + 10) + 25 = 0 \][/tex]
[tex]\[ x^2 + 10x + 25 = 0 \][/tex]
[tex]\[ (x + 5)^2 = 0 \][/tex]
Resolviendo la factorización:
[tex]\[ x + 5 = 0 \][/tex]
[tex]\[ x = -5 \][/tex]
### E. [tex]\( 2x^2 - 13x - 24 = 0 \)[/tex] (Por factorización)
Factorizando:
[tex]\[ 2x^2 - 13x - 24 = 0 \][/tex]
[tex]\[ (2x + 3)(x - 8) = 0 \][/tex]
Resolviendo cada factor:
[tex]\[ 2x + 3 = 0 \][/tex]
[tex]\[ x = -\frac{3}{2} \][/tex]
[tex]\[ x - 8 = 0 \][/tex]
[tex]\[ x = 8 \][/tex]
### F. [tex]\( 4x^2 + 8x = 0 \)[/tex] (Por factorización)
Factorizando:
[tex]\[ 4x^2 + 8x = 0 \][/tex]
[tex]\[ 4x(x + 2) = 0 \][/tex]
Resolviendo cada factor:
[tex]\[ 4x = 0 \][/tex]
[tex]\[ x = 0 \][/tex]
[tex]\[ x + 2 = 0 \][/tex]
[tex]\[ x = -2 \][/tex]
### G. [tex]\( 2x^2 + 8x - 10 = 0 \)[/tex] (Fórmula cuadrática general)
Aplicando la fórmula cuadrática:
Para la ecuación [tex]\( 2x^2 + 8x - 10 = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ a = 2, \; b = 8, \; c = -10 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(2)(-10)}}{2(2)} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 80}}{4} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{144}}{4} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-8 \pm 12}{4} \][/tex]
[tex]\[ x = 1 \; \text{y} \; x = -5 \][/tex]
### H. [tex]\( 4x^2 + 5 = 2x^2 + 20 \)[/tex] (Por factorización)
Simplificando y factorizando:
[tex]\[ 4x^2 + 5 - 2x^2 - 20 = 0 \][/tex]
[tex]\[ 2x^2 - 15 = 0 \][/tex]
[tex]\[ 2x^2 = 15 \][/tex]
[tex]\[ x^2 = \frac{15}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \pm \sqrt{\frac{15}{2}} \][/tex]
[tex]\[ x = \pm \frac{\sqrt{30}}{2} \][/tex]
### I. [tex]\( x^2 = -5x - 6 \)[/tex] (Fórmula cuadrática general)
Re-escribiendo como ecuación cuadrática estándar:
[tex]\[ x^2 + 5x + 6 = 0 \][/tex]
Aplicando la fórmula cuadrática:
Para la ecuación [tex]\( x^2 + 5x + 6 = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ a = 1, \; b = 5, \; c = 6 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(1)(6)}}{2(1)} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-5 \pm 1}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = -2 \; \text{y} \; x = -3 \][/tex]
Estas son las soluciones para cada una de las ecuaciones cuadráticas dadas utilizando el método indicado.
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