Para resolver el problema de calcular [tex]\( MCD(P; I) + MCD(L; A; R) \)[/tex], sigamos estos pasos detallados:
### Entendiendo las Factorizaciones
Primero, tenemos las factorizaciones de los números [tex]\( L \)[/tex], [tex]\( A \)[/tex] y [tex]\( R \)[/tex]:
[tex]\[
\begin{align*}
L &= 2^3 \times 5^4 \times 3^2 \\
A &= 2^4 \times 3^5 \times 5^5 \\
R &= 3^2 \times 2^2 \times 5^1
\end{align*}
\][/tex]
### Calculando el MCD de [tex]\( L \)[/tex], [tex]\( A \)[/tex] y [tex]\( R \)[/tex]
Para calcular el MCD (Máximo Común Divisor) de [tex]\( L \)[/tex], [tex]\( A \)[/tex] y [tex]\( R \)[/tex], encontramos los factores primos comunes y seleccionamos el menor exponente para cada factor.
Revisamos cada factor primo (2, 3 y 5):
1. Para el factor 2:
- [tex]\( L \)[/tex] tiene [tex]\( 2^3 \)[/tex]
- [tex]\( A \)[/tex] tiene [tex]\( 2^4 \)[/tex]
- [tex]\( R \)[/tex] tiene [tex]\( 2^2 \)[/tex]
El menor exponente es 2, así que el factor común es [tex]\( 2^2 \)[/tex].
2. Para el factor 3:
- [tex]\( L \)[/tex] tiene [tex]\( 3^2 \)[/tex]
- [tex]\( A \)[/tex] tiene [tex]\( 3^5 \)[/tex]
- [tex]\( R \)[/tex] tiene [tex]\( 3^2 \)[/tex]
El menor exponente es 2, así que el factor común es [tex]\( 3^2 \)[/tex].
3. Para el factor 5:
- [tex]\( L \)[/tex] tiene [tex]\( 5^4 \)[/tex]
- [tex]\( A \)[/tex] tiene [tex]\( 5^5 \)[/tex]
- [tex]\( R \)[/tex] tiene [tex]\( 5^1 \)[/tex]
El menor exponente es 1, así que el factor común es [tex]\( 5^1 \)[/tex].
Multiplicamos estos factores comunes:
[tex]\[
MCD(L, A, R) = 2^2 \times 3^2 \times 5^1 = 4 \times 9 \times 5 = 180
\][/tex]
### Calculando el MCD de [tex]\( P \)[/tex] e [tex]\( I \)[/tex]
[tex]\( P \)[/tex] e [tex]\( I \)[/tex] son considerados números consecutivos. Para cualquier par de números consecutivos, el MCD siempre es 1, ya que no tienen factores primos comunes salvo el 1.
[tex]\[
MCD(P, I) = 1
\][/tex]
### Sumando los MCDs
Sumamos ambos MCDs calculados:
[tex]\[
MCD(P, I) + MCD(L, A, R) = 1 + 180 = 181
\][/tex]
Por lo tanto, la respuesta correcta es:
[tex]\[
\boxed{181}
\][/tex]
