¡Claro! Vamos a encontrar los interceptos de la función cuadrática [tex]\( f(x) = -x^2 + 7x - 10 \)[/tex].
### Interceptos en el Eje X:
Para encontrar los interceptos en el eje x, debemos resolver la ecuación [tex]\( f(x) = 0 \)[/tex]. Es decir, debemos encontrar los valores de [tex]\( x \)[/tex] para los cuales:
[tex]\[ -x^2 + 7x - 10 = 0 \][/tex]
Esta es una ecuación cuadrática estándar de la forma [tex]\( ax^2 + bx + c = 0 \)[/tex], donde [tex]\( a = -1 \)[/tex], [tex]\( b = 7 \)[/tex], y [tex]\( c = -10 \)[/tex].
Para resolver esta ecuación cuadrática, usamos la fórmula cuadrática:
[tex]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
Calculamos el discriminante ([tex]\( \Delta \)[/tex]) primero:
[tex]\[ \Delta = b^2 - 4ac \][/tex]
Sustituimos los valores:
[tex]\[ \Delta = 7^2 - 4(-1)(-10) \][/tex]
[tex]\[ \Delta = 49 - 40 \][/tex]
[tex]\[ \Delta = 9 \][/tex]
Como el discriminante es positivo ([tex]\( \Delta = 9 \)[/tex]), tenemos dos soluciones reales y distintas para [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \][/tex]
[tex]\[ x_1 = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2(-1)} \][/tex]
[tex]\[ x_1 = \frac{-7 + 3}{-2} \][/tex]
[tex]\[ x_1 = \frac{-4}{-2} \][/tex]
[tex]\[ x_1 = 2 \][/tex]
[tex]\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \][/tex]
[tex]\[ x_2 = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2(-1)} \][/tex]
[tex]\[ x_2 = \frac{-7 - 3}{-2} \][/tex]
[tex]\[ x_2 = \frac{-10}{-2} \][/tex]
[tex]\[ x_2 = 5 \][/tex]
Entonces, los interceptos en el eje x son [tex]\( x = 2 \)[/tex] y [tex]\( x = 5 \)[/tex]. Esto puede escribirse como los puntos [tex]\( (2, 0) \)[/tex] y [tex]\( (5, 0) \)[/tex].
### Intercepto en el Eje Y:
Para encontrar el intercepto en el eje y, evaluamos la función cuando [tex]\( x = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ f(0) = -0^2 + 7(0) - 10 \][/tex]
[tex]\[ f(0) = -10 \][/tex]
Entonces, el intercepto en el eje y es [tex]\( y = -10 \)[/tex], lo que puede escribirse como el punto [tex]\( (0, -10) \)[/tex].
### Resumen:
Los interceptos de la función cuadrática [tex]\( f(x) = -x^2 + 7x - 10 \)[/tex] son:
- Interceptos en el eje x: [tex]\( (2, 0) \)[/tex] y [tex]\( (5, 0) \)[/tex]
- Intercepto en el eje y: [tex]\( (0, -10) \)[/tex]
