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Sagot :
Claro, vamos a resolver estos problemas paso a paso.
### Problema 1: Cálculo del Área del Terreno cuando [tex]\( x = 10 \)[/tex]
Sabemos que el área del terreno está dada por la expresión [tex]\((x + 5)^2\)[/tex].
Queremos encontrar el área cuando [tex]\( x = 10 \)[/tex]:
1. Sustituimos [tex]\( x = 10 \)[/tex] en la fórmula:
[tex]\[ (x + 5)^2 \implies (10 + 5)^2 \][/tex]
2. Simplificamos dentro del paréntesis:
[tex]\[ (15)^2 \][/tex]
3. Calculamos el cuadrado de 15:
[tex]\[ 15^2 = 225 \][/tex]
Por lo tanto, el área del terreno cuando [tex]\( x = 10 \)[/tex] es [tex]\( 225 \)[/tex] metros cuadrados.
### Problema 2: Determinar el Lado del Terreno cuando el Área es de 169 metros cuadrados
Aquí queremos encontrar el valor de [tex]\( x \)[/tex] cuando el área total del terreno es de 169 metros cuadrados, es decir, resolver la ecuación [tex]\((x + 5)^2 = 169\)[/tex].
1. Partimos de la ecuación dada:
[tex]\[ (x + 5)^2 = 169 \][/tex]
2. Sacamos la raíz cuadrada en ambos lados para eliminar el exponente 2:
[tex]\[ x + 5 = \pm \sqrt{169} \][/tex]
3. Sabemos que [tex]\(\sqrt{169} = 13\)[/tex], entonces tenemos dos posibles ecuaciones:
[tex]\[ x + 5 = 13 \quad \text{o} \quad x + 5 = -13 \][/tex]
4. Resolvemos para [tex]\( x \)[/tex] en ambas ecuaciones:
Para [tex]\( x + 5 = 13 \)[/tex]:
[tex]\[ x = 13 - 5 \][/tex]
[tex]\[ x = 8 \][/tex]
Para [tex]\( x + 5 = -13 \)[/tex]:
[tex]\[ x = -13 - 5 \][/tex]
[tex]\[ x = -18 \][/tex]
Por lo tanto, los posibles valores del lado del terreno, [tex]\( x \)[/tex], son [tex]\( -18 \)[/tex] metros y [tex]\( 8 \)[/tex] metros.
### Resumen
1. El área del terreno si [tex]\( x = 10 \)[/tex] es [tex]\( 225 \)[/tex] metros cuadrados.
2. Los posibles valores para el lado del terreno si el área total es de 169 metros cuadrados son [tex]\( x = -18 \)[/tex] metros y [tex]\( x = 8 \)[/tex] metros.
Tengan en cuenta que un valor negativo no tiene sentido físico en el contexto de medir lados de un terreno, por lo que en términos prácticos, el lado del terreno tendría que ser [tex]\( 8 \)[/tex] metros.
### Problema 1: Cálculo del Área del Terreno cuando [tex]\( x = 10 \)[/tex]
Sabemos que el área del terreno está dada por la expresión [tex]\((x + 5)^2\)[/tex].
Queremos encontrar el área cuando [tex]\( x = 10 \)[/tex]:
1. Sustituimos [tex]\( x = 10 \)[/tex] en la fórmula:
[tex]\[ (x + 5)^2 \implies (10 + 5)^2 \][/tex]
2. Simplificamos dentro del paréntesis:
[tex]\[ (15)^2 \][/tex]
3. Calculamos el cuadrado de 15:
[tex]\[ 15^2 = 225 \][/tex]
Por lo tanto, el área del terreno cuando [tex]\( x = 10 \)[/tex] es [tex]\( 225 \)[/tex] metros cuadrados.
### Problema 2: Determinar el Lado del Terreno cuando el Área es de 169 metros cuadrados
Aquí queremos encontrar el valor de [tex]\( x \)[/tex] cuando el área total del terreno es de 169 metros cuadrados, es decir, resolver la ecuación [tex]\((x + 5)^2 = 169\)[/tex].
1. Partimos de la ecuación dada:
[tex]\[ (x + 5)^2 = 169 \][/tex]
2. Sacamos la raíz cuadrada en ambos lados para eliminar el exponente 2:
[tex]\[ x + 5 = \pm \sqrt{169} \][/tex]
3. Sabemos que [tex]\(\sqrt{169} = 13\)[/tex], entonces tenemos dos posibles ecuaciones:
[tex]\[ x + 5 = 13 \quad \text{o} \quad x + 5 = -13 \][/tex]
4. Resolvemos para [tex]\( x \)[/tex] en ambas ecuaciones:
Para [tex]\( x + 5 = 13 \)[/tex]:
[tex]\[ x = 13 - 5 \][/tex]
[tex]\[ x = 8 \][/tex]
Para [tex]\( x + 5 = -13 \)[/tex]:
[tex]\[ x = -13 - 5 \][/tex]
[tex]\[ x = -18 \][/tex]
Por lo tanto, los posibles valores del lado del terreno, [tex]\( x \)[/tex], son [tex]\( -18 \)[/tex] metros y [tex]\( 8 \)[/tex] metros.
### Resumen
1. El área del terreno si [tex]\( x = 10 \)[/tex] es [tex]\( 225 \)[/tex] metros cuadrados.
2. Los posibles valores para el lado del terreno si el área total es de 169 metros cuadrados son [tex]\( x = -18 \)[/tex] metros y [tex]\( x = 8 \)[/tex] metros.
Tengan en cuenta que un valor negativo no tiene sentido físico en el contexto de medir lados de un terreno, por lo que en términos prácticos, el lado del terreno tendría que ser [tex]\( 8 \)[/tex] metros.
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