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Sagot :
Claro, procederé a factorizar cada una de las expresiones indicadas de manera detallada:
1. [tex]\(3x + 4x^2 - 5xy + 12xz\)[/tex]
Para factorizar esta expresión, primero observamos si hay algún factor común en todos los términos:
- Los términos son [tex]\(3x\)[/tex], [tex]\(4x^2\)[/tex], [tex]\(-5xy\)[/tex], y [tex]\(12xz\)[/tex].
- El factor común es [tex]\(x\)[/tex].
Factorizamos el [tex]\(x\)[/tex] de cada término:
[tex]\[3x + 4x^2 - 5xy + 12xz = x(3 + 4x - 5y + 12z)\][/tex]
Así, la expresión factorizada es:
[tex]\[x(3 + 4x - 5y + 12z)\][/tex]
2. [tex]\(6x^2 + 10xy + 18z + 22y\)[/tex]
Agrupamos los términos en dos pares y buscamos factores comunes en cada par:
[tex]\[ (6x^2 + 10xy) + (18z + 22y) \][/tex]
Factorizamos los términos de cada par:
- En el primer par ([tex]\(6x^2 + 10xy\)[/tex]), el factor común es [tex]\(2x\)[/tex]:
[tex]\[ 6x^2 + 10xy = 2x(3x + 5y) \][/tex]
- En el segundo par ([tex]\(18z + 22y\)[/tex]), no hay un factor común aparente. Entonces lo dejamos como está:
[tex]\[ 18z + 22y \][/tex]
La expresión factorizada por grupos sería:
[tex]\[ 2x(3x + 5y) + 18z + 22y \][/tex]
Si no hay un factor común en la segunda parte y no se puede factorizar más, eso queda como la forma final.
3. [tex]\(27xz^2 - 33x^2z + 18x^3yz\)[/tex]
Primero, observamos si hay algún factor común en todos los términos. Aquí, el factor común es [tex]\(3xz\)[/tex].
Factorizamos [tex]\(3xz\)[/tex] de cada término:
[tex]\[ 27xz^2 - 33x^2z + 18x^3yz = 3xz(9z - 11x + 6x^2y) \][/tex]
Así, la expresión factorizada es:
[tex]\[3xz(9z - 11x + 6x^2y)\][/tex]
4. [tex]\(x^2 + 4x + 3\)[/tex]
Para factorizar un trinomio, buscamos dos números que multiplicados den el término constante (3) y sumados den el coeficiente del término lineal (4).
Los números que cumplen estas condiciones son 1 y 3:
[tex]\[x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3)\][/tex]
Así, la expresión factorizada es:
[tex]\[(x + 1)(x + 3)\][/tex]
5. [tex]\(x^2 + 4x - 12\)[/tex]
Para factorizar otro trinomio, buscamos dos números que multiplicados den el término constante (-12) y sumados den el coeficiente del término lineal (4).
Los números que cumplen estas condiciones son -2 y 6:
[tex]\[x^2 + 4x - 12 = (x - 2)(x + 6)\][/tex]
Así, la expresión factorizada es:
[tex]\[(x - 2)(x + 6)\][/tex]
6. [tex]\(x^4 - 9x^2 + 20\)[/tex]
Este es un trinomio cuadrático en términos de [tex]\(x^2\)[/tex]. Para factorizar, buscamos dos números que multiplicados den el término constante (20) y sumados den el coeficiente del término lineal (-9).
Los números son -4 y -5:
[tex]\[x^4 - 9x^2 + 20 = (x^2 - 4)(x^2 - 5)\][/tex]
Cada término cuadrático puede ser factorizado aún más si es posible. Aquí, [tex]\(x^2 - 4\)[/tex] es una diferencia de cuadrados:
[tex]\[x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\][/tex]
Entonces, la factorización completa es:
[tex]\[ (x - 2)(x + 2)(x^2 - 5) \][/tex]
Así, la expresión factorizada es:
[tex]\[(x - 2)(x + 2)(x^2 - 5)\][/tex]
Recuerda verificar cada factor original para asegurarte de que las factorizaciones son correctas, pero estos pasos deben proporcionarte las factorizaciones necesarias para cada expresión dada.
1. [tex]\(3x + 4x^2 - 5xy + 12xz\)[/tex]
Para factorizar esta expresión, primero observamos si hay algún factor común en todos los términos:
- Los términos son [tex]\(3x\)[/tex], [tex]\(4x^2\)[/tex], [tex]\(-5xy\)[/tex], y [tex]\(12xz\)[/tex].
- El factor común es [tex]\(x\)[/tex].
Factorizamos el [tex]\(x\)[/tex] de cada término:
[tex]\[3x + 4x^2 - 5xy + 12xz = x(3 + 4x - 5y + 12z)\][/tex]
Así, la expresión factorizada es:
[tex]\[x(3 + 4x - 5y + 12z)\][/tex]
2. [tex]\(6x^2 + 10xy + 18z + 22y\)[/tex]
Agrupamos los términos en dos pares y buscamos factores comunes en cada par:
[tex]\[ (6x^2 + 10xy) + (18z + 22y) \][/tex]
Factorizamos los términos de cada par:
- En el primer par ([tex]\(6x^2 + 10xy\)[/tex]), el factor común es [tex]\(2x\)[/tex]:
[tex]\[ 6x^2 + 10xy = 2x(3x + 5y) \][/tex]
- En el segundo par ([tex]\(18z + 22y\)[/tex]), no hay un factor común aparente. Entonces lo dejamos como está:
[tex]\[ 18z + 22y \][/tex]
La expresión factorizada por grupos sería:
[tex]\[ 2x(3x + 5y) + 18z + 22y \][/tex]
Si no hay un factor común en la segunda parte y no se puede factorizar más, eso queda como la forma final.
3. [tex]\(27xz^2 - 33x^2z + 18x^3yz\)[/tex]
Primero, observamos si hay algún factor común en todos los términos. Aquí, el factor común es [tex]\(3xz\)[/tex].
Factorizamos [tex]\(3xz\)[/tex] de cada término:
[tex]\[ 27xz^2 - 33x^2z + 18x^3yz = 3xz(9z - 11x + 6x^2y) \][/tex]
Así, la expresión factorizada es:
[tex]\[3xz(9z - 11x + 6x^2y)\][/tex]
4. [tex]\(x^2 + 4x + 3\)[/tex]
Para factorizar un trinomio, buscamos dos números que multiplicados den el término constante (3) y sumados den el coeficiente del término lineal (4).
Los números que cumplen estas condiciones son 1 y 3:
[tex]\[x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3)\][/tex]
Así, la expresión factorizada es:
[tex]\[(x + 1)(x + 3)\][/tex]
5. [tex]\(x^2 + 4x - 12\)[/tex]
Para factorizar otro trinomio, buscamos dos números que multiplicados den el término constante (-12) y sumados den el coeficiente del término lineal (4).
Los números que cumplen estas condiciones son -2 y 6:
[tex]\[x^2 + 4x - 12 = (x - 2)(x + 6)\][/tex]
Así, la expresión factorizada es:
[tex]\[(x - 2)(x + 6)\][/tex]
6. [tex]\(x^4 - 9x^2 + 20\)[/tex]
Este es un trinomio cuadrático en términos de [tex]\(x^2\)[/tex]. Para factorizar, buscamos dos números que multiplicados den el término constante (20) y sumados den el coeficiente del término lineal (-9).
Los números son -4 y -5:
[tex]\[x^4 - 9x^2 + 20 = (x^2 - 4)(x^2 - 5)\][/tex]
Cada término cuadrático puede ser factorizado aún más si es posible. Aquí, [tex]\(x^2 - 4\)[/tex] es una diferencia de cuadrados:
[tex]\[x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\][/tex]
Entonces, la factorización completa es:
[tex]\[ (x - 2)(x + 2)(x^2 - 5) \][/tex]
Así, la expresión factorizada es:
[tex]\[(x - 2)(x + 2)(x^2 - 5)\][/tex]
Recuerda verificar cada factor original para asegurarte de que las factorizaciones son correctas, pero estos pasos deben proporcionarte las factorizaciones necesarias para cada expresión dada.
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