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Sagot :
Para resolver el problema de determinar el campo eléctrico resultante sobre un punto situado justo en el centro de dos cargas separadas a una distancia de 30 cm, con las cargas [tex]\( q_1 = 3 \, \text{pC} \)[/tex] y [tex]\( q_2 = -6 \, \text{µC} \)[/tex], y asumiendo que se encuentran en el vacío, seguimos los siguientes pasos:
### Datos y Fórmulas Necesarias
Datos:
1. Distancia entre las cargas, [tex]\( d = 30 \)[/tex] cm = 0.30 m.
2. Carga [tex]\( q_1 = 3 \)[/tex] pC [tex]\( = 3 \times 10^{-12} \text{C} \)[/tex].
3. Carga [tex]\( q_2 = -6 \)[/tex] µC [tex]\( = -6 \times 10^{-6} \text{C} \)[/tex].
4. Constante de permitividad del vacío, [tex]\( \epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \)[/tex] F/m.
Fórmulas:
1. Campo eléctrico debido a una carga puntual:
[tex]\[ E = \frac{k \cdot |q|}{r^2} \][/tex]
Donde [tex]\( k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \)[/tex].
### Procedimiento
Paso 1: Convierta la Distancia a Metros
La distancia total entre las dos cargas es 30 cm, lo que equivale a 0.30 metros. La distancia desde el centro hasta cada carga será la mitad de esto:
[tex]\[ r = \frac{0.30\, \text{m}}{2} = 0.15 \, \text{m} \][/tex]
Paso 2: Calcular el Campo Eléctrico debido a Cada Carga en el Punto Medio
Campo eléctrico debido a [tex]\( q_1 \)[/tex]:
[tex]\[ E_1 = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{q_1}{r^2} = \frac{1}{4 \pi \cdot 8.854 \times 10^{-12}} \cdot \frac{3 \times 10^{-12}}{(0.15)^2} \][/tex]
Utilizando la constante:
[tex]\[ \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \approx 8.99 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2 \][/tex]
[tex]\[ E_1 = (8.99 \times 10^9) \cdot \frac{3 \times 10^{-12}}{(0.15)^2} \approx 1.198 \, \text{N/C} \][/tex]
Campo eléctrico debido a [tex]\( q_2 \)[/tex]:
[tex]\[ E_2 = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{q_2}{r^2} = \frac{1}{4 \pi \cdot 8.854 \times 10^{-12}} \cdot \frac{-6 \times 10^{-6}}{(0.15)^2} \][/tex]
[tex]\[ E_2 = (8.99 \times 10^9) \cdot \frac{-6 \times 10^{-6}}{(0.15)^2} \approx -2396731.3168 \, \text{N/C} \][/tex]
Paso 3: Sumar los Campos Eléctricos para Obtener el Campo Total [tex]\( E_{total} \)[/tex]
Los campos eléctricos generados por [tex]\( q_1 \)[/tex] y [tex]\( q_2 \)[/tex] en el punto medio tienen direcciones opuestas porque una carga es positiva y la otra negativa. Así que sumamos estos valores teniendo en cuenta sus signos:
[tex]\[ E_{total} = E_1 + E_2 \][/tex]
[tex]\[ E_{total} = 1.198 - 2396731.3168 \approx -2396730.1184 \, \text{N/C} \][/tex]
### Resultado
El campo eléctrico resultante en el punto medio de las dos cargas es aproximadamente:
[tex]\[ E_{total} \approx -2396730.1184 \, \text{N/C} \][/tex]
Este negativo indica la dirección del campo hacia [tex]\( q_2 \)[/tex] debido a la mayor magnitud de carga negativa.
### Datos y Fórmulas Necesarias
Datos:
1. Distancia entre las cargas, [tex]\( d = 30 \)[/tex] cm = 0.30 m.
2. Carga [tex]\( q_1 = 3 \)[/tex] pC [tex]\( = 3 \times 10^{-12} \text{C} \)[/tex].
3. Carga [tex]\( q_2 = -6 \)[/tex] µC [tex]\( = -6 \times 10^{-6} \text{C} \)[/tex].
4. Constante de permitividad del vacío, [tex]\( \epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \)[/tex] F/m.
Fórmulas:
1. Campo eléctrico debido a una carga puntual:
[tex]\[ E = \frac{k \cdot |q|}{r^2} \][/tex]
Donde [tex]\( k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \)[/tex].
### Procedimiento
Paso 1: Convierta la Distancia a Metros
La distancia total entre las dos cargas es 30 cm, lo que equivale a 0.30 metros. La distancia desde el centro hasta cada carga será la mitad de esto:
[tex]\[ r = \frac{0.30\, \text{m}}{2} = 0.15 \, \text{m} \][/tex]
Paso 2: Calcular el Campo Eléctrico debido a Cada Carga en el Punto Medio
Campo eléctrico debido a [tex]\( q_1 \)[/tex]:
[tex]\[ E_1 = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{q_1}{r^2} = \frac{1}{4 \pi \cdot 8.854 \times 10^{-12}} \cdot \frac{3 \times 10^{-12}}{(0.15)^2} \][/tex]
Utilizando la constante:
[tex]\[ \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \approx 8.99 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2 \][/tex]
[tex]\[ E_1 = (8.99 \times 10^9) \cdot \frac{3 \times 10^{-12}}{(0.15)^2} \approx 1.198 \, \text{N/C} \][/tex]
Campo eléctrico debido a [tex]\( q_2 \)[/tex]:
[tex]\[ E_2 = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{q_2}{r^2} = \frac{1}{4 \pi \cdot 8.854 \times 10^{-12}} \cdot \frac{-6 \times 10^{-6}}{(0.15)^2} \][/tex]
[tex]\[ E_2 = (8.99 \times 10^9) \cdot \frac{-6 \times 10^{-6}}{(0.15)^2} \approx -2396731.3168 \, \text{N/C} \][/tex]
Paso 3: Sumar los Campos Eléctricos para Obtener el Campo Total [tex]\( E_{total} \)[/tex]
Los campos eléctricos generados por [tex]\( q_1 \)[/tex] y [tex]\( q_2 \)[/tex] en el punto medio tienen direcciones opuestas porque una carga es positiva y la otra negativa. Así que sumamos estos valores teniendo en cuenta sus signos:
[tex]\[ E_{total} = E_1 + E_2 \][/tex]
[tex]\[ E_{total} = 1.198 - 2396731.3168 \approx -2396730.1184 \, \text{N/C} \][/tex]
### Resultado
El campo eléctrico resultante en el punto medio de las dos cargas es aproximadamente:
[tex]\[ E_{total} \approx -2396730.1184 \, \text{N/C} \][/tex]
Este negativo indica la dirección del campo hacia [tex]\( q_2 \)[/tex] debido a la mayor magnitud de carga negativa.
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