Claro, vamos a aplicar el producto notable y desarrollar cada uno de los términos.
1. Parte a): [tex]\((x + 30)^2\)[/tex]
Para desarrollar [tex]\((x + 30)^2\)[/tex] usamos el binomio al cuadrado:
[tex]\[
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
\][/tex]
Aquí [tex]\( a = x \)[/tex] y [tex]\( b = 30 \)[/tex].
[tex]\[
(x + 30)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 30 + 30^2.
\][/tex]
Simplificamos cada término:
[tex]\[
x^2 + 60x + 900.
\][/tex]
Por lo tanto:
[tex]\[
(x + 30)^2 = x^2 + 60x + 900.
\][/tex]
2. Parte b): [tex]\((7x + 5y)^2\)[/tex]
Para desarrollar [tex]\((7x + 5y)^2\)[/tex] usamos el binomio al cuadrado:
[tex]\(
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
\)[/tex]
Aquí [tex]\( a = 7x \)[/tex] y [tex]\( b = 5y \)[/tex].
[tex]\(
(7x + 5y)^2 = (7x)^2 + 2 \cdot (7x) \cdot (5y) + (5y)^2.
\)[/tex]
Simplificamos cada término:
[tex]\[
49x^2 + 70xy + 25y^2.
\][/tex]
Por lo tanto:
[tex]\[
(7x + 5y)^2 = 49x^2 + 70xy + 25y^2.
\][/tex]
3. Parte c): [tex]\(\left(12a^2b^3 + 6a^3b^2\right)^2\)[/tex]
Para desarrollar [tex]\(\left(12a^2b^3 + 6a^3b^2\right)^2\)[/tex] usamos de nuevo el binomio al cuadrado:
[tex]\[
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
\][/tex]
Aquí [tex]\( a = 12a^2b^3 \)[/tex] y [tex]\( b = 6a^3b^2 \)[/tex].
[tex]\[
(12a^2b^3 + 6a^3b^2)^2 = (12a^2b^3)^2 + 2 \cdot (12a^2b^3) \cdot (6a^3b^2) + (6a^3b^2)^2.
\][/tex]
Simplificamos cada término:
[tex]\[
(12a^2b^3)^2 = 144a^4b^6,
\][/tex]
[tex]\[
2 \cdot 12a^2b^3 \cdot 6a^3b^2 = 144a^5b^5,
\][/tex]
[tex]\[
(6a^3b^2)^2 = 36a^6b^4.
\][/tex]
Juntamos todos los términos:
[tex]\[
144a^4b^6 + 144a^5b^5 + 36a^6b^4.
\][/tex]
Por lo tanto:
\left(12a^2b^3 + 6a^3b^2\right)^2 = 36a^6b^4 + 144a^5b^5 + 144a^4b^6.
En resumen:
a) [tex]\((x + 30)^2 = x^2 + 60x + 900\)[/tex]
b) [tex]\((7x + 5y)^2 = 49x^2 + 70xy + 25y^2\)[/tex]
c) \((12a^2b^3 + 6a^3b^2)^2 = 36a^6b^4 + 144a^5b^5 + 144a^4b^6).
