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Sagot :
Para resolver este problema de estadística descriptiva con los datos proporcionados, vamos a seguir los siguientes pasos detalladamente:
### 1. Cálculo de la Media
La media se calcula como la suma de los productos de cada valor por su respectiva frecuencia, dividido por la suma total de las frecuencias.
[tex]\[ \text{Media} = \frac{\sum (valor \times frecuencia)}{\sum \text{frecuencia}} \][/tex]
Usando los valores y frecuencias de la tabla:
[tex]\[ \text{Media} = \frac{(5 \times 2) + (8 \times 5) + (10 \times 8) + (12 \times 15) + (14 \times 15) + (16 \times 25) + (18 \times 5)}{2 + 5 + 8 + 15 + 15 + 25 + 5} \][/tex]
[tex]\[ \text{Media} = \frac{10 + 40 + 80 + 180 + 210 + 400 + 90}{75} \][/tex]
[tex]\[ \text{Media} = \frac{1010}{75} \][/tex]
[tex]\[ \text{Media} \approx 13.47 \][/tex]
### 2. Cálculo de la Mediana
Para calcular la mediana, primero encontramos la frecuencia acumulativa:
[tex]\[ \text{Frecuencias acumulativas} = [2, 7, 15, 30, 45, 70, 75] \][/tex]
La mitad de la frecuencia total es [tex]\( \frac{75}{2} = 37.5 \)[/tex]. Necesitamos identificar el intervalo que contiene el 38º dato.
Observando las frecuencias acumulativas:
- Hasta 30 (no incluye) están todas las frecuencias hasta el valor 12.
- Desde la posición 31 hasta la 45, están todas las frecuencias del valor 14.
Por lo tanto, la mediana es 14, ya que el valor 14 está en el intervalo que contiene las posiciones 38 (en caso de distribución impar particularmente de la posición que buscamos).
### 3. Cálculo de la Moda
La moda es el valor que ocurre con mayor frecuencia en el conjunto de datos. En la tabla, el valor 16 tiene la mayor frecuencia con 25 ocurrencias. Así que:
[tex]\[ \text{Moda} = 16 \][/tex]
### Resumiendo los Resultados
- Media: 13.47
- Mediana: 14.0
- Moda: 16
### Interpretación de las afirmaciones dadas:
1. La media es menor que la mediana.
- No, la media es 13.47 y la mediana es 14.0. Por lo tanto, esta afirmación es falsa.
2. La moda es mayor que la mediana.
- Sí, la moda es 16 y la mediana es 14.0. Por lo tanto, esta afirmación es verdadera.
3. La media es mayor a 13.
- Sí, la media es 13.47. Por lo tanto, esta afirmación es verdadera.
En conclusión, de las afirmaciones provistas:
- La primera afirmación es falsa.
- La segunda y la tercera afirmaciones son verdaderas.
### 1. Cálculo de la Media
La media se calcula como la suma de los productos de cada valor por su respectiva frecuencia, dividido por la suma total de las frecuencias.
[tex]\[ \text{Media} = \frac{\sum (valor \times frecuencia)}{\sum \text{frecuencia}} \][/tex]
Usando los valores y frecuencias de la tabla:
[tex]\[ \text{Media} = \frac{(5 \times 2) + (8 \times 5) + (10 \times 8) + (12 \times 15) + (14 \times 15) + (16 \times 25) + (18 \times 5)}{2 + 5 + 8 + 15 + 15 + 25 + 5} \][/tex]
[tex]\[ \text{Media} = \frac{10 + 40 + 80 + 180 + 210 + 400 + 90}{75} \][/tex]
[tex]\[ \text{Media} = \frac{1010}{75} \][/tex]
[tex]\[ \text{Media} \approx 13.47 \][/tex]
### 2. Cálculo de la Mediana
Para calcular la mediana, primero encontramos la frecuencia acumulativa:
[tex]\[ \text{Frecuencias acumulativas} = [2, 7, 15, 30, 45, 70, 75] \][/tex]
La mitad de la frecuencia total es [tex]\( \frac{75}{2} = 37.5 \)[/tex]. Necesitamos identificar el intervalo que contiene el 38º dato.
Observando las frecuencias acumulativas:
- Hasta 30 (no incluye) están todas las frecuencias hasta el valor 12.
- Desde la posición 31 hasta la 45, están todas las frecuencias del valor 14.
Por lo tanto, la mediana es 14, ya que el valor 14 está en el intervalo que contiene las posiciones 38 (en caso de distribución impar particularmente de la posición que buscamos).
### 3. Cálculo de la Moda
La moda es el valor que ocurre con mayor frecuencia en el conjunto de datos. En la tabla, el valor 16 tiene la mayor frecuencia con 25 ocurrencias. Así que:
[tex]\[ \text{Moda} = 16 \][/tex]
### Resumiendo los Resultados
- Media: 13.47
- Mediana: 14.0
- Moda: 16
### Interpretación de las afirmaciones dadas:
1. La media es menor que la mediana.
- No, la media es 13.47 y la mediana es 14.0. Por lo tanto, esta afirmación es falsa.
2. La moda es mayor que la mediana.
- Sí, la moda es 16 y la mediana es 14.0. Por lo tanto, esta afirmación es verdadera.
3. La media es mayor a 13.
- Sí, la media es 13.47. Por lo tanto, esta afirmación es verdadera.
En conclusión, de las afirmaciones provistas:
- La primera afirmación es falsa.
- La segunda y la tercera afirmaciones son verdaderas.
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