Westonci.ca is the premier destination for reliable answers to your questions, provided by a community of experts. Our Q&A platform provides quick and trustworthy answers to your questions from experienced professionals in different areas of expertise. Get quick and reliable solutions to your questions from a community of experienced experts on our platform.
Sagot :
Para resolver la inecuación [tex]\(X^2 - X - 20 \geq 0\)[/tex] seguimos estos pasos:
1. Encontrar las raíces de la ecuación cuadrática asociada:
Para resolver la inecuación, primero encontramos las raíces de la ecuación cuadrática [tex]\(X^2 - X - 20 = 0\)[/tex].
La ecuación cuadrática [tex]\(X^2 - X - 20 = 0\)[/tex] se puede factorizar o resolver usando la fórmula general:
[tex]\[ X = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
donde [tex]\(a = 1\)[/tex], [tex]\(b = -1\)[/tex] y [tex]\(c = -20\)[/tex].
Calculamos el discriminante:
[tex]\[ \Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-20) = 1 + 80 = 81 \][/tex]
Entonces las raíces son:
[tex]\[ X = \frac{-(-1) \pm \sqrt{81}}{2(1)} = \frac{1 \pm 9}{2} \][/tex]
Lo cual da las raíces:
[tex]\[ X_1 = \frac{1 + 9}{2} = 5 \quad \text{y} \quad X_2 = \frac{1 - 9}{2} = -4 \][/tex]
2. Determinar los intervalos relevantes:
Las raíces dividen la recta numérica en tres intervalos:
[tex]\[ (-\infty, -4), \quad (-4, 5) \quad \text{y} \quad (5, \infty) \][/tex]
3. Probar los intervalos:
Para determinar en cuáles de estos intervalos la expresión cuadrática es mayor o igual a cero, evaluamos un punto de prueba en cada intervalo.
- En el intervalo [tex]\((- \infty, -4)\)[/tex]: podemos probar con [tex]\(X = -5\)[/tex]:
[tex]\[ (-5)^2 - (-5) - 20 = 25 + 5 - 20 = 10 \geq 0 \][/tex]
- En el intervalo [tex]\((-4, 5)\)[/tex]: podemos probar con [tex]\(X = 0\)[/tex]:
[tex]\[ 0^2 - 0 - 20 = -20 \not\geq 0 \][/tex]
- En el intervalo [tex]\((5, \infty)\)[/tex]: podemos probar con [tex]\(X = 6\)[/tex]:
[tex]\[ 6^2 - 6 - 20 = 36 - 6 - 20 = 10 \geq 0 \][/tex]
4. Incluir las raíces:
Dado que la inecuación es [tex]\(\geq 0\)[/tex], incluimos las raíces en la solución, ya que en [tex]\(X = -4\)[/tex] y [tex]\(X = 5\)[/tex]:
[tex]\[ (-4)^2 - (-4) - 20 = 16 + 4 - 20 = 0 \quad \text{y} \quad 5^2 - 5 - 20 = 25 - 5 - 20 = 0 \][/tex]
5. Combinar los intervalos:
La solución de la inecuación [tex]\(X^2 - X - 20 \geq 0\)[/tex] es la combinación de los intervalos donde la expresión es mayor o igual a cero:
[tex]\[ (-\infty, -4] \cup [5, \infty) \][/tex]
En términos de notación de intervalos:
[tex]\[ (-\infty < X \leq -4) \cup (5 \leq X < \infty) \][/tex]
Por lo tanto, el conjunto solución para la inecuación [tex]\(X^2 - X - 20 \geq 0\)[/tex] es:
[tex]\[ (-\infty < X \leq -4) \cup (5 \leq X < \infty) \][/tex]
1. Encontrar las raíces de la ecuación cuadrática asociada:
Para resolver la inecuación, primero encontramos las raíces de la ecuación cuadrática [tex]\(X^2 - X - 20 = 0\)[/tex].
La ecuación cuadrática [tex]\(X^2 - X - 20 = 0\)[/tex] se puede factorizar o resolver usando la fórmula general:
[tex]\[ X = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
donde [tex]\(a = 1\)[/tex], [tex]\(b = -1\)[/tex] y [tex]\(c = -20\)[/tex].
Calculamos el discriminante:
[tex]\[ \Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-20) = 1 + 80 = 81 \][/tex]
Entonces las raíces son:
[tex]\[ X = \frac{-(-1) \pm \sqrt{81}}{2(1)} = \frac{1 \pm 9}{2} \][/tex]
Lo cual da las raíces:
[tex]\[ X_1 = \frac{1 + 9}{2} = 5 \quad \text{y} \quad X_2 = \frac{1 - 9}{2} = -4 \][/tex]
2. Determinar los intervalos relevantes:
Las raíces dividen la recta numérica en tres intervalos:
[tex]\[ (-\infty, -4), \quad (-4, 5) \quad \text{y} \quad (5, \infty) \][/tex]
3. Probar los intervalos:
Para determinar en cuáles de estos intervalos la expresión cuadrática es mayor o igual a cero, evaluamos un punto de prueba en cada intervalo.
- En el intervalo [tex]\((- \infty, -4)\)[/tex]: podemos probar con [tex]\(X = -5\)[/tex]:
[tex]\[ (-5)^2 - (-5) - 20 = 25 + 5 - 20 = 10 \geq 0 \][/tex]
- En el intervalo [tex]\((-4, 5)\)[/tex]: podemos probar con [tex]\(X = 0\)[/tex]:
[tex]\[ 0^2 - 0 - 20 = -20 \not\geq 0 \][/tex]
- En el intervalo [tex]\((5, \infty)\)[/tex]: podemos probar con [tex]\(X = 6\)[/tex]:
[tex]\[ 6^2 - 6 - 20 = 36 - 6 - 20 = 10 \geq 0 \][/tex]
4. Incluir las raíces:
Dado que la inecuación es [tex]\(\geq 0\)[/tex], incluimos las raíces en la solución, ya que en [tex]\(X = -4\)[/tex] y [tex]\(X = 5\)[/tex]:
[tex]\[ (-4)^2 - (-4) - 20 = 16 + 4 - 20 = 0 \quad \text{y} \quad 5^2 - 5 - 20 = 25 - 5 - 20 = 0 \][/tex]
5. Combinar los intervalos:
La solución de la inecuación [tex]\(X^2 - X - 20 \geq 0\)[/tex] es la combinación de los intervalos donde la expresión es mayor o igual a cero:
[tex]\[ (-\infty, -4] \cup [5, \infty) \][/tex]
En términos de notación de intervalos:
[tex]\[ (-\infty < X \leq -4) \cup (5 \leq X < \infty) \][/tex]
Por lo tanto, el conjunto solución para la inecuación [tex]\(X^2 - X - 20 \geq 0\)[/tex] es:
[tex]\[ (-\infty < X \leq -4) \cup (5 \leq X < \infty) \][/tex]
We hope this information was helpful. Feel free to return anytime for more answers to your questions and concerns. Thank you for your visit. We're dedicated to helping you find the information you need, whenever you need it. Westonci.ca is committed to providing accurate answers. Come back soon for more trustworthy information.
