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Nivel avanzado

En la siguiente secuencia:
[tex]\[3 \times a^1, 2 \times a^2, 5 \times a^3, 3 \times a^4, 2 \times a^5, 5 \times a^6, \ldots\][/tex]
¿Cuál será el coeficiente de [tex]\(a\)[/tex] cuando su exponente sea 100?


Sagot :

Claro, vamos a resolver este problema paso a paso.

Observemos primero la secuencia dada:
[tex]\[ 3 \times a^1 ; 2 \times a^2 ; 5 \times a^3 ; 3 \times a^4 ; 2 \times a^5 ; 5 \times a^6 ; \ldots \][/tex]

Podemos notar que hay un patrón que se repite cada tres términos. El patrón es:
[tex]\[ 3, 2, 5 \][/tex]

Queremos encontrar el coeficiente de [tex]\(a\)[/tex] en el término cuyo exponente es 100, es decir, en el término [tex]\(a^{100}\)[/tex].

Para hacerlo, debemos determinar en qué posición del patrón nos encontramos cuando el exponente de [tex]\(a\)[/tex] es 100.

Para determinar la posición en el patrón:
1. Restamos 1 del exponente, ya que las posiciones empiezan en 1, no en 0.
2. Dividimos el resultado por 3 y tomamos el residuo (el sobrante de la división).

Matemáticamente, hacemos lo siguiente:
[tex]\[ \text{Posición en el patrón} = (100 - 1) \mod 3 \][/tex]
[tex]\[ \text{Posición en el patrón} = 99 \mod 3 \][/tex]
[tex]\[ \text{Posición en el patrón} = 0 \][/tex]

El residuo es 0, lo que nos indica que el término [tex]\(a^{100}\)[/tex] está en la posición 0 del patrón.

El patrón [tex]\(3, 2, 5\)[/tex] corresponde a:
- Posición 0: 3
- Posición 1: 2
- Posición 2: 5

Así que cuando estamos en la posición 0 del patrón, el coeficiente para [tex]\(a^{100}\)[/tex] es 3.

Por lo tanto, el coeficiente de [tex]\(a\)[/tex] en el término cuando su exponente es 100 es:
[tex]\[ \boxed{3} \][/tex]
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