Find the best answers to your questions at Westonci.ca, where experts and enthusiasts provide accurate, reliable information. Our platform provides a seamless experience for finding precise answers from a network of experienced professionals. Explore comprehensive solutions to your questions from knowledgeable professionals across various fields on our platform.
Sagot :
Pour résoudre le système d'équations suivant dans [tex]\(\mathbb{R}\)[/tex], nous allons procéder étape par étape :
[tex]\[ \left\{ \begin{array}{c} x + y - z = 1 \\ 2x + 3y + \beta z = 3 \\ x + \beta y + 3z = -3 \end{array} \right. \][/tex]
### Étape 1 : Représentation matricielle
On peut représenter le système sous forme d'une matrice augmentée [tex]\(A|B\)[/tex].
[tex]\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & \beta \\ 1 & \beta & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} \][/tex]
### Étape 2 : Déterminant de la matrice des coefficients
Pour déterminer si le système a une solution unique, nous devons nous assurer que le déterminant de la matrice des coefficients [tex]\(A\)[/tex] n'est pas nul. Calculons ce déterminant :
[tex]\[ \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & \beta \\ 1 & \beta & 3 \end{vmatrix} \][/tex]
En développant par les cofacteurs de la première ligne :
[tex]\[ \det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & \beta \\ \beta & 3 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & \beta \\ 1 & 3 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & \beta \end{vmatrix} \][/tex]
Calculons chaque sous-déterminant :
[tex]\[ \begin{vmatrix} 3 & \beta \\ \beta & 3 \end{vmatrix} = 3 \cdot 3 - \beta \cdot \beta = 9 - \beta^2 \][/tex]
[tex]\[ \begin{vmatrix} 2 & \beta \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot 3 - \beta \cdot 1 = 6 - \beta \][/tex]
[tex]\[ \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & \beta \end{vmatrix} = 2 \cdot \beta - 3 \cdot 1 = 2\beta - 3 \][/tex]
Donc,
[tex]\[ \det(A) = 1 \cdot (9 - \beta^2) - 1 \cdot (6 - \beta) - 1 \cdot (2\beta - 3) \][/tex]
Regroupons les termes :
[tex]\[ \det(A) = 9 - \beta^2 - 6 + \beta - 2\beta + 3 \][/tex]
[tex]\[ \det(A) = -\beta^2 - \beta + 6 \][/tex]
Pour que le système ait une solution unique, il faut que [tex]\(\det(A) \neq 0\)[/tex]. Cherchons les valeurs de [tex]\(\beta\)[/tex] pour lesquelles ce déterminant est nul :
[tex]\(-\beta^2 - \beta + 6 = 0\)[/tex]
### Étape 3 : Résolution de l'équation du déterminant
Résolvons l'équation quadratique [tex]\(-\beta^2 - \beta + 6 = 0\)[/tex] :
Revenons sur cette équation en changeant le signe :
[tex]\(\beta^2 + \beta - 6 = 0\)[/tex]
Les racines de cette équation quadratique se déterminent comme suit :
[tex]\[ \Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \][/tex]
[tex]\[ \beta_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \][/tex]
[tex]\[ \beta_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad \beta_2 = \frac{-6}{2} = -3 \][/tex]
Donc les valeurs de [tex]\(\beta\)[/tex] pour lesquelles le déterminant est nul sont [tex]\(\beta = 2\)[/tex] et [tex]\(\beta = -3\)[/tex].
### Étape 4 : Conclusion
Le système admet une solution unique pour toutes les valeurs de [tex]\(\beta\)[/tex] sauf [tex]\(\beta = 2\)[/tex] et [tex]\(\beta = -3\)[/tex].
### Solution pour [tex]\(\beta \neq 2\)[/tex] et [tex]\(\beta \neq -3\)[/tex]
Pour [tex]\(\beta \neq 2\)[/tex] et [tex]\(\beta \neq -3\)[/tex], la solution du système est donnée par :
[tex]\[ x = \frac{\beta + 3}{\beta - 2}, \quad y = \frac{-4}{\beta - 2}, \quad z = \frac{1}{\beta - 2} \][/tex]
[tex]\[ \left\{ \begin{array}{c} x + y - z = 1 \\ 2x + 3y + \beta z = 3 \\ x + \beta y + 3z = -3 \end{array} \right. \][/tex]
### Étape 1 : Représentation matricielle
On peut représenter le système sous forme d'une matrice augmentée [tex]\(A|B\)[/tex].
[tex]\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & \beta \\ 1 & \beta & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} \][/tex]
### Étape 2 : Déterminant de la matrice des coefficients
Pour déterminer si le système a une solution unique, nous devons nous assurer que le déterminant de la matrice des coefficients [tex]\(A\)[/tex] n'est pas nul. Calculons ce déterminant :
[tex]\[ \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & \beta \\ 1 & \beta & 3 \end{vmatrix} \][/tex]
En développant par les cofacteurs de la première ligne :
[tex]\[ \det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & \beta \\ \beta & 3 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & \beta \\ 1 & 3 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & \beta \end{vmatrix} \][/tex]
Calculons chaque sous-déterminant :
[tex]\[ \begin{vmatrix} 3 & \beta \\ \beta & 3 \end{vmatrix} = 3 \cdot 3 - \beta \cdot \beta = 9 - \beta^2 \][/tex]
[tex]\[ \begin{vmatrix} 2 & \beta \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot 3 - \beta \cdot 1 = 6 - \beta \][/tex]
[tex]\[ \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & \beta \end{vmatrix} = 2 \cdot \beta - 3 \cdot 1 = 2\beta - 3 \][/tex]
Donc,
[tex]\[ \det(A) = 1 \cdot (9 - \beta^2) - 1 \cdot (6 - \beta) - 1 \cdot (2\beta - 3) \][/tex]
Regroupons les termes :
[tex]\[ \det(A) = 9 - \beta^2 - 6 + \beta - 2\beta + 3 \][/tex]
[tex]\[ \det(A) = -\beta^2 - \beta + 6 \][/tex]
Pour que le système ait une solution unique, il faut que [tex]\(\det(A) \neq 0\)[/tex]. Cherchons les valeurs de [tex]\(\beta\)[/tex] pour lesquelles ce déterminant est nul :
[tex]\(-\beta^2 - \beta + 6 = 0\)[/tex]
### Étape 3 : Résolution de l'équation du déterminant
Résolvons l'équation quadratique [tex]\(-\beta^2 - \beta + 6 = 0\)[/tex] :
Revenons sur cette équation en changeant le signe :
[tex]\(\beta^2 + \beta - 6 = 0\)[/tex]
Les racines de cette équation quadratique se déterminent comme suit :
[tex]\[ \Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \][/tex]
[tex]\[ \beta_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \][/tex]
[tex]\[ \beta_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad \beta_2 = \frac{-6}{2} = -3 \][/tex]
Donc les valeurs de [tex]\(\beta\)[/tex] pour lesquelles le déterminant est nul sont [tex]\(\beta = 2\)[/tex] et [tex]\(\beta = -3\)[/tex].
### Étape 4 : Conclusion
Le système admet une solution unique pour toutes les valeurs de [tex]\(\beta\)[/tex] sauf [tex]\(\beta = 2\)[/tex] et [tex]\(\beta = -3\)[/tex].
### Solution pour [tex]\(\beta \neq 2\)[/tex] et [tex]\(\beta \neq -3\)[/tex]
Pour [tex]\(\beta \neq 2\)[/tex] et [tex]\(\beta \neq -3\)[/tex], la solution du système est donnée par :
[tex]\[ x = \frac{\beta + 3}{\beta - 2}, \quad y = \frac{-4}{\beta - 2}, \quad z = \frac{1}{\beta - 2} \][/tex]
Thank you for visiting our platform. We hope you found the answers you were looking for. Come back anytime you need more information. Thank you for your visit. We're committed to providing you with the best information available. Return anytime for more. Keep exploring Westonci.ca for more insightful answers to your questions. We're here to help.
