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Sagot :
Pour résoudre le système d'équations suivant dans [tex]\(\mathbb{R}\)[/tex], nous allons procéder étape par étape :
[tex]\[ \left\{ \begin{array}{c} x + y - z = 1 \\ 2x + 3y + \beta z = 3 \\ x + \beta y + 3z = -3 \end{array} \right. \][/tex]
### Étape 1 : Représentation matricielle
On peut représenter le système sous forme d'une matrice augmentée [tex]\(A|B\)[/tex].
[tex]\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & \beta \\ 1 & \beta & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} \][/tex]
### Étape 2 : Déterminant de la matrice des coefficients
Pour déterminer si le système a une solution unique, nous devons nous assurer que le déterminant de la matrice des coefficients [tex]\(A\)[/tex] n'est pas nul. Calculons ce déterminant :
[tex]\[ \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & \beta \\ 1 & \beta & 3 \end{vmatrix} \][/tex]
En développant par les cofacteurs de la première ligne :
[tex]\[ \det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & \beta \\ \beta & 3 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & \beta \\ 1 & 3 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & \beta \end{vmatrix} \][/tex]
Calculons chaque sous-déterminant :
[tex]\[ \begin{vmatrix} 3 & \beta \\ \beta & 3 \end{vmatrix} = 3 \cdot 3 - \beta \cdot \beta = 9 - \beta^2 \][/tex]
[tex]\[ \begin{vmatrix} 2 & \beta \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot 3 - \beta \cdot 1 = 6 - \beta \][/tex]
[tex]\[ \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & \beta \end{vmatrix} = 2 \cdot \beta - 3 \cdot 1 = 2\beta - 3 \][/tex]
Donc,
[tex]\[ \det(A) = 1 \cdot (9 - \beta^2) - 1 \cdot (6 - \beta) - 1 \cdot (2\beta - 3) \][/tex]
Regroupons les termes :
[tex]\[ \det(A) = 9 - \beta^2 - 6 + \beta - 2\beta + 3 \][/tex]
[tex]\[ \det(A) = -\beta^2 - \beta + 6 \][/tex]
Pour que le système ait une solution unique, il faut que [tex]\(\det(A) \neq 0\)[/tex]. Cherchons les valeurs de [tex]\(\beta\)[/tex] pour lesquelles ce déterminant est nul :
[tex]\(-\beta^2 - \beta + 6 = 0\)[/tex]
### Étape 3 : Résolution de l'équation du déterminant
Résolvons l'équation quadratique [tex]\(-\beta^2 - \beta + 6 = 0\)[/tex] :
Revenons sur cette équation en changeant le signe :
[tex]\(\beta^2 + \beta - 6 = 0\)[/tex]
Les racines de cette équation quadratique se déterminent comme suit :
[tex]\[ \Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \][/tex]
[tex]\[ \beta_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \][/tex]
[tex]\[ \beta_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad \beta_2 = \frac{-6}{2} = -3 \][/tex]
Donc les valeurs de [tex]\(\beta\)[/tex] pour lesquelles le déterminant est nul sont [tex]\(\beta = 2\)[/tex] et [tex]\(\beta = -3\)[/tex].
### Étape 4 : Conclusion
Le système admet une solution unique pour toutes les valeurs de [tex]\(\beta\)[/tex] sauf [tex]\(\beta = 2\)[/tex] et [tex]\(\beta = -3\)[/tex].
### Solution pour [tex]\(\beta \neq 2\)[/tex] et [tex]\(\beta \neq -3\)[/tex]
Pour [tex]\(\beta \neq 2\)[/tex] et [tex]\(\beta \neq -3\)[/tex], la solution du système est donnée par :
[tex]\[ x = \frac{\beta + 3}{\beta - 2}, \quad y = \frac{-4}{\beta - 2}, \quad z = \frac{1}{\beta - 2} \][/tex]
[tex]\[ \left\{ \begin{array}{c} x + y - z = 1 \\ 2x + 3y + \beta z = 3 \\ x + \beta y + 3z = -3 \end{array} \right. \][/tex]
### Étape 1 : Représentation matricielle
On peut représenter le système sous forme d'une matrice augmentée [tex]\(A|B\)[/tex].
[tex]\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & \beta \\ 1 & \beta & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} \][/tex]
### Étape 2 : Déterminant de la matrice des coefficients
Pour déterminer si le système a une solution unique, nous devons nous assurer que le déterminant de la matrice des coefficients [tex]\(A\)[/tex] n'est pas nul. Calculons ce déterminant :
[tex]\[ \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & \beta \\ 1 & \beta & 3 \end{vmatrix} \][/tex]
En développant par les cofacteurs de la première ligne :
[tex]\[ \det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & \beta \\ \beta & 3 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & \beta \\ 1 & 3 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & \beta \end{vmatrix} \][/tex]
Calculons chaque sous-déterminant :
[tex]\[ \begin{vmatrix} 3 & \beta \\ \beta & 3 \end{vmatrix} = 3 \cdot 3 - \beta \cdot \beta = 9 - \beta^2 \][/tex]
[tex]\[ \begin{vmatrix} 2 & \beta \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot 3 - \beta \cdot 1 = 6 - \beta \][/tex]
[tex]\[ \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & \beta \end{vmatrix} = 2 \cdot \beta - 3 \cdot 1 = 2\beta - 3 \][/tex]
Donc,
[tex]\[ \det(A) = 1 \cdot (9 - \beta^2) - 1 \cdot (6 - \beta) - 1 \cdot (2\beta - 3) \][/tex]
Regroupons les termes :
[tex]\[ \det(A) = 9 - \beta^2 - 6 + \beta - 2\beta + 3 \][/tex]
[tex]\[ \det(A) = -\beta^2 - \beta + 6 \][/tex]
Pour que le système ait une solution unique, il faut que [tex]\(\det(A) \neq 0\)[/tex]. Cherchons les valeurs de [tex]\(\beta\)[/tex] pour lesquelles ce déterminant est nul :
[tex]\(-\beta^2 - \beta + 6 = 0\)[/tex]
### Étape 3 : Résolution de l'équation du déterminant
Résolvons l'équation quadratique [tex]\(-\beta^2 - \beta + 6 = 0\)[/tex] :
Revenons sur cette équation en changeant le signe :
[tex]\(\beta^2 + \beta - 6 = 0\)[/tex]
Les racines de cette équation quadratique se déterminent comme suit :
[tex]\[ \Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \][/tex]
[tex]\[ \beta_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \][/tex]
[tex]\[ \beta_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad \beta_2 = \frac{-6}{2} = -3 \][/tex]
Donc les valeurs de [tex]\(\beta\)[/tex] pour lesquelles le déterminant est nul sont [tex]\(\beta = 2\)[/tex] et [tex]\(\beta = -3\)[/tex].
### Étape 4 : Conclusion
Le système admet une solution unique pour toutes les valeurs de [tex]\(\beta\)[/tex] sauf [tex]\(\beta = 2\)[/tex] et [tex]\(\beta = -3\)[/tex].
### Solution pour [tex]\(\beta \neq 2\)[/tex] et [tex]\(\beta \neq -3\)[/tex]
Pour [tex]\(\beta \neq 2\)[/tex] et [tex]\(\beta \neq -3\)[/tex], la solution du système est donnée par :
[tex]\[ x = \frac{\beta + 3}{\beta - 2}, \quad y = \frac{-4}{\beta - 2}, \quad z = \frac{1}{\beta - 2} \][/tex]
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