Pentru a afla ultima cifră a numărului [tex]\(3^{2019} + 5^{2020} + 1^{2021}\)[/tex], trebuie să determinăm separat ultimele cifre ale fiecărei puteri și să le sumăm.
1. Ultima cifră a lui [tex]\(3^{2019}\)[/tex]:
Observăm un tipar în ultimele cifre ale puterilor lui 3:
- [tex]\(3^1 = 3\)[/tex] --> ultima cifră este 3
- [tex]\(3^2 = 9\)[/tex] --> ultima cifră este 9
- [tex]\(3^3 = 27\)[/tex] --> ultima cifră este 7
- [tex]\(3^4 = 81\)[/tex] --> ultima cifră este 1
- [tex]\(3^5 = 243\)[/tex] --> ultima cifră este 3
Tiparul se repetă la fiecare 4 puteri: 3, 9, 7, 1. Pentru a găsi ultima cifră a lui [tex]\(3^{2019}\)[/tex], împărțim 2019 la 4 și luăm restul:
[tex]\[2019 \mod 4 = 3\][/tex]
Așadar, [tex]\(3^{2019}\)[/tex] are aceeași ultimă cifră ca și [tex]\(3^3\)[/tex], adică 7.
2. Ultima cifră a lui [tex]\(5^{2020}\)[/tex]:
Observăm un tipar în ultimele cifre ale puterilor lui 5:
- [tex]\(5^1 = 5\)[/tex] --> ultima cifră este 5
- [tex]\(5^2 = 25\)[/tex] --> ultima cifră este 5
- [tex]\(5^3 = 125\)[/tex] --> ultima cifră este 5
Așadar, indiferent de puterea la care ridicăm 5, ultima cifră va fi întotdeauna 5. Deci ultima cifră a lui [tex]\(5^{2020}\)[/tex] este 5.
3. Ultima cifră a lui [tex]\(1^{2021}\)[/tex]:
Indiferent de puterea la care ridicăm 1, ultima cifră va fi întotdeauna 1. Deci ultima cifră a lui [tex]\(1^{2021}\)[/tex] este 1.
4. Calcularea sumei numerelor:
Acum avem ultimele cifre ale celor trei termeni:
- [tex]\(3^{2019}\)[/tex] --> 7
- [tex]\(5^{2020}\)[/tex] --> 5
- [tex]\(1^{2021}\)[/tex] --> 1
Suma acestora este:
[tex]\[7 + 5 + 1 = 13\][/tex]
Ultima cifră a sumei [tex]\(7 + 5 + 1\)[/tex] este [tex]\( 3 \)[/tex].
Prin urmare, ultima cifră a numărului [tex]\(3^{2019} + 5^{2020} + 1^{2021}\)[/tex] este [tex]\(3\)[/tex].
