Para determinar la función trigonométrica seno que tiene una amplitud de 3 y un periodo de [tex]\(2\pi\)[/tex], debemos entender la forma general de una función seno, que es:
[tex]\[ f(x) = A \sin(Bx + C) + D \][/tex]
- [tex]\(A\)[/tex] representa la amplitud.
- [tex]\(B\)[/tex] afecta el periodo, donde el periodo se calcula como [tex]\( \frac{2\pi}{B} \)[/tex].
- [tex]\(C\)[/tex] es el desplazamiento horizontal.
- [tex]\(D\)[/tex] es el desplazamiento vertical.
Analicemos cada una de las opciones proporcionadas:
a. [tex]\( f(x) = \sin^3(x) \)[/tex]
- Esta función no es una función seno estándar debido al exponente cúbico. Por lo tanto, esta opción no tiene la forma general requerida de [tex]\(A \sin(Bx + C) + D\)[/tex] y no cumple con las condiciones dadas.
b. [tex]\( f(x) = \sin(3x) \)[/tex]
- Aquí, la función es una seno estándar, y el coeficiente de [tex]\(x\)[/tex] es 3. El periodo se calcula como [tex]\( \frac{2\pi}{3} \)[/tex]. Sin embargo, esto no coincide con el requisito de que el periodo sea [tex]\(2\pi\)[/tex].
c. [tex]\( f(x) = 3 \sin(x + 90^\circ) \)[/tex]
- Esta función tiene una amplitud de 3, lo cual es correcto. Sin embargo, tiene un desplazamiento de fase de [tex]\(90^\circ\)[/tex] o [tex]\(\frac{\pi}{2}\)[/tex] radianes. Aun así, el periodo de la función sigue siendo [tex]\(2\pi\)[/tex] porque el coeficiente de [tex]\(x\)[/tex] es 1 (no se ve afectado por el desplazamiento de fase). No obstante, buscamos una función sin desplazamiento horizontal.
d. [tex]\( f(x) = 3 \sin(x) \)[/tex]
- Esta función tiene una amplitud de 3, como se requiere, y el periodo se calcula como [tex]\( \frac{2\pi}{1} = 2\pi \)[/tex], que también es correcto. Además, no tiene desplazamiento de fase ni desplazamiento vertical.
Luego, la función que cumple con una amplitud de 3 y un periodo de [tex]\(2\pi\)[/tex] es:
[tex]\[ \boxed{d. \, f(x) = 3 \sin(x)} \][/tex]
