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Sagot :
Claro, vamos a abordar la factorización de cada una de las expresiones dadas. Aquí tienes las soluciones:
### 1. Factorizar [tex]\(3x + 4x^2 - 5xy + 12xz\)[/tex]:
Para factorizar la expresión [tex]\(3x + 4x^2 - 5xy + 12xz\)[/tex], primero vamos a buscar términos comunes:
[tex]\[ 3x + 4x^2 - 5xy + 12xz \][/tex]
Podemos observar que todos los términos tienen a [tex]\(x\)[/tex] como factor común:
[tex]\[ x(3 + 4x - 5y + 12z) \][/tex]
Así, la factorización de [tex]\(3x + 4x^2 - 5xy + 12xz\)[/tex] es:
[tex]\[ x(4x - 5y + 12z + 3) \][/tex]
### 2. Factorizar [tex]\(6x^2 + 10xy + 18z + 22y\)[/tex]:
La expresión [tex]\(6x^2 + 10xy + 18z + 22y\)[/tex] puede ser complicada. Primero, buscamos agrupar términos:
[tex]\[ 6x^2 + 10xy + 18z + 22y \][/tex]
Podemos agrupar los términos que tienen algo en común:
[tex]\[ (6x^2 + 10xy) + (18z + 22y) \][/tex]
De la primera agrupación, 2 es un factor común; de la segunda, por ahora no hay un factor claro en común visible para [tex]\(18z + 22y\)[/tex], pero podríamos escribirlo de forma:
[tex]\[ 2(3x^2 + 5xy) + 2*(9z + 11y) \][/tex]
Así, podemos factorizar por 2:
[tex]\[ 2(3x^2 + 5xy + 9z + 11y) \][/tex]
### 22. Factorizar [tex]\(x^2 + 4x + 3\)[/tex]:
Para factorizar el trinomio [tex]\(x^2 + 4x + 3\)[/tex], buscamos dos números que multiplicados den [tex]\(3\)[/tex] y sumados den [tex]\(4\)[/tex]. Estos números son [tex]\(3\)[/tex] y [tex]\(1\)[/tex]:
[tex]\[ x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3) \][/tex]
### 3. Factorizar [tex]\(27xz^2 - 33x^2z + 18x^3yz\)[/tex]:
Primero observamos que todos los términos tienen [tex]\(x\)[/tex] y [tex]\(z\)[/tex] como factores comunes:
[tex]\[ 27xz^2 - 33x^2z + 18x^3yz \][/tex]
Factorizamos sacando [tex]\(3xz\)[/tex]:
[tex]\[ 3xz(9z) - 3xz(11x) + 3xz(6x^2y) \][/tex]
[tex]\[ 3xz(9z - 11x + 6x^2y) \][/tex]
Nos queda entonces:
[tex]\[ 3xz(6x^2y - 11x + 9z) \][/tex]
### 23. Factorizar [tex]\(x^2 + 4x - 12\)[/tex]:
Para factorizar el trinomio [tex]\(x^2 + 4x - 12\)[/tex], buscamos dos números que multiplicados den [tex]\(-12\)[/tex] y sumados den [tex]\(4\)[/tex]. Esos números son [tex]\(6\)[/tex] y [tex]\(-2\)[/tex]:
[tex]\[ x^2 + 4x - 12 = (x - 2)(x + 6) \][/tex]
### 24. Factorizar [tex]\(x^4 - 9x^2 + 20\)[/tex]:
Consideramos la expresión [tex]\(x^4 - 9x^2 + 20\)[/tex]:
Podemos hacer un cambio de variable, tomando [tex]\(u = x^2\)[/tex], transformamos la expresión en una cuadrática a [tex]\(u\)[/tex]:
[tex]\[ u^2 - 9u + 20 \][/tex]
Buscamos dos números que multiplicados dan [tex]\(20\)[/tex] y sumados dan [tex]\(-9\)[/tex]. Esos números son [tex]\(-5\)[/tex] y [tex]\(-4\)[/tex].
[tex]\[ u^2 - 9u + 20 = (u - 5)(u - 4) \][/tex]
Reemplazando [tex]\(u = x^2\)[/tex]:
[tex]\[ (x^2 - 5)(x^2 - 4) \][/tex]
Y sabemos que podemos factorizar [tex]\(x^2 - 4\)[/tex] como una diferencia de cuadrados:
[tex]\[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \][/tex]
Por lo tanto, la factorización completa es:
[tex]\[ (x^2 - 5)(x - 2)(x + 2) \][/tex]
Sin embargo, es importante verificar la simplificación final para comprender el orden de factorización y confirmarlo nuevamente:
[tex]\[ (x - 2)(x + 2)(x^2 - 5) \][/tex]
Esto nos lleva a que:
[tex]\[ x^4 - 9x^2 + 20 = (x - 2)(x + 2)(x^2 - 5) \][/tex]
Estas son las factorizaciones correspondientes a cada una de las expresiones dadas.
### 1. Factorizar [tex]\(3x + 4x^2 - 5xy + 12xz\)[/tex]:
Para factorizar la expresión [tex]\(3x + 4x^2 - 5xy + 12xz\)[/tex], primero vamos a buscar términos comunes:
[tex]\[ 3x + 4x^2 - 5xy + 12xz \][/tex]
Podemos observar que todos los términos tienen a [tex]\(x\)[/tex] como factor común:
[tex]\[ x(3 + 4x - 5y + 12z) \][/tex]
Así, la factorización de [tex]\(3x + 4x^2 - 5xy + 12xz\)[/tex] es:
[tex]\[ x(4x - 5y + 12z + 3) \][/tex]
### 2. Factorizar [tex]\(6x^2 + 10xy + 18z + 22y\)[/tex]:
La expresión [tex]\(6x^2 + 10xy + 18z + 22y\)[/tex] puede ser complicada. Primero, buscamos agrupar términos:
[tex]\[ 6x^2 + 10xy + 18z + 22y \][/tex]
Podemos agrupar los términos que tienen algo en común:
[tex]\[ (6x^2 + 10xy) + (18z + 22y) \][/tex]
De la primera agrupación, 2 es un factor común; de la segunda, por ahora no hay un factor claro en común visible para [tex]\(18z + 22y\)[/tex], pero podríamos escribirlo de forma:
[tex]\[ 2(3x^2 + 5xy) + 2*(9z + 11y) \][/tex]
Así, podemos factorizar por 2:
[tex]\[ 2(3x^2 + 5xy + 9z + 11y) \][/tex]
### 22. Factorizar [tex]\(x^2 + 4x + 3\)[/tex]:
Para factorizar el trinomio [tex]\(x^2 + 4x + 3\)[/tex], buscamos dos números que multiplicados den [tex]\(3\)[/tex] y sumados den [tex]\(4\)[/tex]. Estos números son [tex]\(3\)[/tex] y [tex]\(1\)[/tex]:
[tex]\[ x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3) \][/tex]
### 3. Factorizar [tex]\(27xz^2 - 33x^2z + 18x^3yz\)[/tex]:
Primero observamos que todos los términos tienen [tex]\(x\)[/tex] y [tex]\(z\)[/tex] como factores comunes:
[tex]\[ 27xz^2 - 33x^2z + 18x^3yz \][/tex]
Factorizamos sacando [tex]\(3xz\)[/tex]:
[tex]\[ 3xz(9z) - 3xz(11x) + 3xz(6x^2y) \][/tex]
[tex]\[ 3xz(9z - 11x + 6x^2y) \][/tex]
Nos queda entonces:
[tex]\[ 3xz(6x^2y - 11x + 9z) \][/tex]
### 23. Factorizar [tex]\(x^2 + 4x - 12\)[/tex]:
Para factorizar el trinomio [tex]\(x^2 + 4x - 12\)[/tex], buscamos dos números que multiplicados den [tex]\(-12\)[/tex] y sumados den [tex]\(4\)[/tex]. Esos números son [tex]\(6\)[/tex] y [tex]\(-2\)[/tex]:
[tex]\[ x^2 + 4x - 12 = (x - 2)(x + 6) \][/tex]
### 24. Factorizar [tex]\(x^4 - 9x^2 + 20\)[/tex]:
Consideramos la expresión [tex]\(x^4 - 9x^2 + 20\)[/tex]:
Podemos hacer un cambio de variable, tomando [tex]\(u = x^2\)[/tex], transformamos la expresión en una cuadrática a [tex]\(u\)[/tex]:
[tex]\[ u^2 - 9u + 20 \][/tex]
Buscamos dos números que multiplicados dan [tex]\(20\)[/tex] y sumados dan [tex]\(-9\)[/tex]. Esos números son [tex]\(-5\)[/tex] y [tex]\(-4\)[/tex].
[tex]\[ u^2 - 9u + 20 = (u - 5)(u - 4) \][/tex]
Reemplazando [tex]\(u = x^2\)[/tex]:
[tex]\[ (x^2 - 5)(x^2 - 4) \][/tex]
Y sabemos que podemos factorizar [tex]\(x^2 - 4\)[/tex] como una diferencia de cuadrados:
[tex]\[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \][/tex]
Por lo tanto, la factorización completa es:
[tex]\[ (x^2 - 5)(x - 2)(x + 2) \][/tex]
Sin embargo, es importante verificar la simplificación final para comprender el orden de factorización y confirmarlo nuevamente:
[tex]\[ (x - 2)(x + 2)(x^2 - 5) \][/tex]
Esto nos lleva a que:
[tex]\[ x^4 - 9x^2 + 20 = (x - 2)(x + 2)(x^2 - 5) \][/tex]
Estas son las factorizaciones correspondientes a cada una de las expresiones dadas.
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