Claro, vamos a simplificar la expresión [tex]\( -\sqrt[4]{75} \times \sqrt[4]{50} \)[/tex].
### Paso 1: Expresar en términos de raíces
Primero, recordemos que la cuarta raíz de un número puede ser escrito como una potencia fraccionaria de este modo:
[tex]\[ \sqrt[4]{75} = 75^{1/4} \][/tex]
[tex]\[ \sqrt[4]{50} = 50^{1/4} \][/tex]
### Paso 2: Multiplicar las raíces de índices iguales
Cuando multiplicamos raíces de igual índice, tenemos la propiedad:
[tex]\[ a^{1/4} \times b^{1/4} = (a \times b)^{1/4} \][/tex]
Entonces, aplicamos esta propiedad a nuestra multiplicación:
[tex]\[ \sqrt[4]{75} \times \sqrt[4]{50} = (75 \times 50)^{1/4} \][/tex]
### Paso 3: Calcular el producto de los números dentro de la raíz
Multipliquemos los números dentro de la raíz de cuarto grado:
[tex]\[ 75 \times 50 = 3750 \][/tex]
### Paso 4: Aplicar la raíz de cuarto grado
Ahora aplicamos la raíz de cuarto grado sobre 3750:
[tex]\[ (75 \times 50)^{1/4} = 3750^{1/4} \][/tex]
### Paso 5: Aplicar el signo negativo
Finalmente, no debemos olvidar aplicar el signo negativo que está delante de la expresión original:
[tex]\[ - \sqrt[4]{75} \times \sqrt[4]{50} = - 3750^{1/4} \][/tex]
### Resultado numérico
El valor numérico de [tex]\((75)^{1/4}\)[/tex] es aproximadamente [tex]\(2.942830956382712\)[/tex], y el valor de [tex]\((50)^{1/4}\)[/tex] es aproximadamente [tex]\(2.6591479484724942\)[/tex]. Así que cuando multiplicamos estos valores y aplicamos el signo negativo, obtenemos:
[tex]\[ - 3750^{1/4} \approx -7.825422900366437 \][/tex]
Por lo tanto, la simplificación de la expresión [tex]\( -\sqrt[4]{75} \times \sqrt[4]{50} \)[/tex] es aproximadamente [tex]\(-7.825422900366437\)[/tex].
