Para abordar esta pregunta, sigamos un proceso detallado paso a paso para llegar a la solución:
### Paso 1: Planteamiento del Problema
Queremos determinar si el gerente de la empresa fabricante de PCB debería detener la producción de acuerdo a la cantidad de PCB presente en el agua. La concentración média establecida por el laboratorio es de 4 ppm, y el gerente ha obtenido una muestra de agua con una concentración média de 3.05 ppm y una desviación estándar de 0.15 ppm.
### Paso 2: Formulación de Hipótesis
Formulemos las hipótesis nula [tex]\(H_0\)[/tex] y alterna [tex]\(H_a\)[/tex]:
- Hipótesis nula [tex]\(H_0\)[/tex]: [tex]\(\mu = 4\)[/tex] ppm (la producción no necesita ser detenida)
- Hipótesis alterna [tex]\(H_a\)[/tex]: [tex]\(\mu \neq 4\)[/tex] ppm (la producción debería ser detenida)
### Paso 3: Nivel de Significación
El nivel de significación ([tex]\(\alpha\)[/tex]) es del 2%, que se traduce a [tex]\( \alpha = 0.02 \)[/tex].
### Paso 4: Cálculo del Estándar del Error de la Media
Dado que solo se ha considerado un espécimen ([tex]\(n = 1\)[/tex]), el estándar del error de la media es [tex]\(0.15\)[/tex] directamente ([tex]\(\frac{0.15}{\sqrt{1}} = 0.15\)[/tex]).
### Paso 5: Cálculo del Estadístico de Prueba (Z-score)
Utilizamos la fórmula para el Z-score:
[tex]\[ Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \][/tex]
Insertando los valores dados:
[tex]\[ Z = \frac{3.05 - 4}{0.15} = -6.333 \][/tex]
### Paso 6: Cálculo del Valor Crítico
Para una prueba de dos colas con un nivel de significación de 0.02, el valor crítico para [tex]\(\alpha/2 = 0.01\)[/tex] es aproximadamente [tex]\(Z_{crítico} = \pm 2.3263\)[/tex].
### Paso 7: Comparación y Toma de Decisión
Comparando nuestro estadístico de prueba ([tex]\(Z = -6.333\)[/tex]) con el valor crítico ([tex]\(\pm 2.3263\)[/tex]):
- Si [tex]\(|Z| > Z_{crítico}\)[/tex], rechazamos [tex]\(H_0\)[/tex].
- Si [tex]\(|Z| \leq Z_{crítico}\)[/tex], no rechazamos [tex]\(H_0\)[/tex].
En este caso, [tex]\(|-6.333| > 2.3263\)[/tex]. Por lo tanto, rechazamos la hipótesis nula.
### Conclusión
Dado que rechazamos la hipótesis nula, concluimos que existe evidencia suficiente para apoyar que la producción debería ser detenida. Esto corresponde a la opción correcta:
(A) [tex]\(H_a: \mu \neq 4\)[/tex] ppm
En resumen, el gerente decidirá detener la producción porque la concentración média de PCB en el agua excede el límite establecido por el laboratorio bajo el nivel de significación del 2%.
