Para simplificar la expresión [tex]\(\left(a^{2x} + b^{2x}\right)\left(a^{2x} - b^{2x}\right)\left(a^{4x} + b^{4x}\right) + b^{8x}\)[/tex], sigamos estos pasos:
1. Identificación de productos notables: Observemos que [tex]\(\left(a^{2x} + b^{2x}\right)\left(a^{2x} - b^{2x}\right)\)[/tex] es una diferencia de cuadrados. Podemos simplificarlo utilizando la identidad [tex]\((u + v)(u - v) = u^2 - v^2\)[/tex]:
[tex]\[
\left(a^{2x} + b^{2x}\right)\left(a^{2x} - b^{2x}\right) = \left(a^{2x}\right)^2 - \left(b^{2x}\right)^2 = a^{4x} - b^{4x}
\][/tex]
2. Sustitución en la expresión original: Reemplazamos [tex]\(\left(a^{2x} + b^{2x}\right)\left(a^{2x} - b^{2x}\right)\)[/tex] en la expresión original por [tex]\(a^{4x} - b^{4x}\)[/tex]:
[tex]\[
(a^{4x} - b^{4x})(a^{4x} + b^{4x}) + b^{8x}
\][/tex]
3. Multiplicación de diferencias de cuadrados con sumas de cuadrados: Podemos observar ahora nuevamente que tenemos una diferencia de cuadrados multiplicada por una suma de cuadrados. Utilizamos de nuevo la identidad de la diferencia de cuadrados:
[tex]\[
(a^{4x} - b^{4x})(a^{4x} + b^{4x}) = (a^{4x})^2 - (b^{4x})^2 = a^{8x} - b^{8x}
\][/tex]
4. Suma del término de [tex]\(b^{8x}\)[/tex]: Finalmente, sumamos [tex]\(b^{8x}\)[/tex] a la expresión obetenida:
[tex]\[
a^{8x} - b^{8x} + b^{8x}
\][/tex]
5. Simplificación final: El término [tex]\(-b^{8x} + b^{8x}\)[/tex] se cancela, dejándonos únicamente:
[tex]\[
a^{8x}
\][/tex]
Por lo tanto, la expresión simplificada es:
[tex]\[
a^{8x}
\][/tex]
Esta es la solución simplificada de la expresión dada.
