Certainly! Let's break down and solve the mathematical expression step by step.
### Expression:
[tex]\[ 4 + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} - \left[ 1 - \left( 3 \frac{1}{2} + 1.\overline{6} \right) \right] \][/tex]
### Step-by-Step Solution:
1. Convert mixed numbers and repeating decimals:
- [tex]\( 3 \frac{1}{2} \)[/tex] is a mixed number which converts to a fraction:
[tex]\[ 3 \frac{1}{2} = 3 + \frac{1}{2} = 3.5 \][/tex]
- [tex]\( 1.\overline{6} \)[/tex] is a repeating decimal which is equivalent to:
[tex]\[ 1.\overline{6} = 1 + \frac{6}{9} \][/tex]
Simplifying [tex]\(\frac{6}{9}\)[/tex]:
[tex]\[ \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \][/tex]
So,
[tex]\[ 1.\overline{6} = 1 + \frac{2}{3} = 1.6666666666666665 \][/tex]
2. Add the converted terms inside the parentheses:
[tex]\[ 3.5 + 1.6666666666666665 \][/tex]
Adding these:
[tex]\[ 3.5 + 1.6666666666666665 = 5.166666666666666 \][/tex]
3. Update the main expression with the inner sum:
[tex]\[ 1 - \left( 5.166666666666666 \right) \][/tex]
[tex]\[ 1 - 5.166666666666666 = -4.166666666666666 \][/tex]
4. Incorporate this back into the main outer expression:
[tex]\[ 4 + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} - \left( -4.166666666666666 \right) \][/tex]
5. Handle the subtraction of the negative value:
[tex]\[ 4 + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + 4.166666666666666 \][/tex]
6. Combine terms, starting with the constants and fractions:
- Convert the fractions:
[tex]\[
\frac{1}{4} = 0.25
\][/tex]
[tex]\[
\frac{1}{8} = 0.125
\][/tex]
- Sum up:
[tex]\[
4 + 4.166666666666666 + 0.25 - 0.125
\][/tex]
7. Calculate the final result:
[tex]\[ 4 + 4.166666666666666 = 8.166666666666666 \][/tex]
[tex]\[ 8.166666666666666 + 0.25 = 8.416666666666666 \][/tex]
[tex]\[ 8.416666666666666 - 0.125 = 8.291666666666666 \][/tex]
### Final Result:
[tex]\[ 8.291666666666666 \][/tex]
So, the value of the expression [tex]\(4 + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} - \left[ 1 - \left( 3 \frac{1}{2} + 1.\overline{6} \right) \right]\)[/tex] is:
[tex]\[ 8.291666666666666 \][/tex]
