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Sagot :
Vamos a resolver el problema paso a paso para completar la tabla de distribución de frecuencias y calcular la media de los pesos de 50 personas. Seguiremos los pasos a continuación:
### 1. Determinar el punto medio [tex]\( x_i \)[/tex] de cada intervalo de pesos
Para cada intervalo, el punto medio [tex]\( x_i \)[/tex] es el valor medio entre los límites inferior y superior del intervalo:
- Para el intervalo [tex]\([30 ; 40)\)[/tex], el punto medio [tex]\( x_i \)[/tex] es [tex]\(\frac{30 + 40}{2} = 35.0\)[/tex].
- Para el intervalo [tex]\([40 ; 50)\)[/tex], el punto medio [tex]\( x_i \)[/tex] es [tex]\(\frac{40 + 50}{2} = 45.0\)[/tex].
- Para el intervalo [tex]\([50 ; 60)\)[/tex], el punto medio [tex]\( x_i \)[/tex] es [tex]\(\frac{50 + 60}{2} = 55.0\)[/tex].
- Para el intervalo [tex]\([60 ; 70)\)[/tex], el punto medio [tex]\( x_i \)[/tex] es [tex]\(\frac{60 + 70}{2} = 65.0\)[/tex].
- Para el intervalo [tex]\([70 ; 80]\)[/tex], el punto medio [tex]\( x_i \)[/tex] es [tex]\(\frac{70 + 80}{2} = 75.0\)[/tex].
Llenamos la tabla con estos valores:
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline Pesos & [tex]\( f_1 \)[/tex] & [tex]\( x_i \)[/tex] & [tex]\( x_i \cdot f_1 \)[/tex] \\
\hline [tex]\([30 ; 40)\)[/tex] & 12 & 35.0 & \\
\hline [tex]\([40 ; 50)\)[/tex] & 15 & 45.0 & \\
\hline [tex]\([50 ; 60)\)[/tex] & 8 & 55.0 & \\
\hline [tex]\([60 ; 70)\)[/tex] & 10 & 65.0 & \\
\hline [tex]\([70 ; 80]\)[/tex] & 5 & 75.0 & \\
\hline
\end{tabular}
### 2. Calcular [tex]\( x_i \cdot f_1 \)[/tex] para cada intervalo
Multiplicamos el punto medio [tex]\( x_i \)[/tex] por la frecuencia [tex]\( f_1 \)[/tex]:
- Para el intervalo [tex]\([30 ; 40)\)[/tex]: [tex]\( 35.0 \cdot 12 = 420.0 \)[/tex]
- Para el intervalo [tex]\([40 ; 50)\)[/tex]: [tex]\( 45.0 \cdot 15 = 675.0 \)[/tex]
- Para el intervalo [tex]\([50 ; 60)\)[/tex]: [tex]\( 55.0 \cdot 8 = 440.0 \)[/tex]
- Para el intervalo [tex]\([60 ; 70)\)[/tex]: [tex]\( 65.0 \cdot 10 = 650.0 \)[/tex]
- Para el intervalo [tex]\([70 ; 80]\)[/tex]: [tex]\( 75.0 \cdot 5 = 375.0 \)[/tex]
Llenamos la tabla completa:
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline Pesos & [tex]\( f_1 \)[/tex] & [tex]\( x_i \)[/tex] & [tex]\( x_i \cdot f_1 \)[/tex] \\
\hline [tex]\([30 ; 40)\)[/tex] & 12 & 35.0 & 420.0 \\
\hline [tex]\([40 ; 50)\)[/tex] & 15 & 45.0 & 675.0 \\
\hline [tex]\([50 ; 60)\)[/tex] & 8 & 55.0 & 440.0 \\
\hline [tex]\([60 ; 70)\)[/tex] & 10 & 65.0 & 650.0 \\
\hline [tex]\([70 ; 80]\)[/tex] & 5 & 75.0 & 375.0 \\
\hline
\end{tabular}
### 3. Calcular el total de la frecuencia [tex]\(\sum f_1 = n = 50\)[/tex]
### 4. Calcular la media de los pesos
La media [tex]\( \overline{x} \)[/tex] se calcula como:
[tex]\[ \overline{x} = \frac{\sum (x_i \cdot f_1)}{\sum f_1} \][/tex]
Sumamos todos los valores de [tex]\( x_i \cdot f_1 \)[/tex]:
[tex]\[ \sum (x_i \cdot f_1) = 420.0 + 675.0 + 440.0 + 650.0 + 375.0 = 2560.0 \][/tex]
Ahora calculamos la media:
[tex]\[ \overline{x} = \frac{2560.0}{50} = 51.2 \][/tex]
Así que la tabla completa y la media de los pesos son:
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline Pesos & [tex]\( f_1 \)[/tex] & [tex]\( x_i \)[/tex] & [tex]\( x_i \cdot f_1 \)[/tex] \\
\hline [tex]\([30 ; 40)\)[/tex] & 12 & 35.0 & 420.0 \\
\hline [tex]\([40 ; 50)\)[/tex] & 15 & 45.0 & 675.0 \\
\hline [tex]\([50 ; 60)\)[/tex] & 8 & 55.0 & 440.0 \\
\hline [tex]\([60 ; 70)\)[/tex] & 10 & 65.0 & 650.0 \\
\hline [tex]\([70; 80]\)[/tex] & 5 & 75.0 & 375.0 \\
\hline
\end{tabular}
La media de los pesos es [tex]\( \boxed{51.2} \)[/tex].
### 1. Determinar el punto medio [tex]\( x_i \)[/tex] de cada intervalo de pesos
Para cada intervalo, el punto medio [tex]\( x_i \)[/tex] es el valor medio entre los límites inferior y superior del intervalo:
- Para el intervalo [tex]\([30 ; 40)\)[/tex], el punto medio [tex]\( x_i \)[/tex] es [tex]\(\frac{30 + 40}{2} = 35.0\)[/tex].
- Para el intervalo [tex]\([40 ; 50)\)[/tex], el punto medio [tex]\( x_i \)[/tex] es [tex]\(\frac{40 + 50}{2} = 45.0\)[/tex].
- Para el intervalo [tex]\([50 ; 60)\)[/tex], el punto medio [tex]\( x_i \)[/tex] es [tex]\(\frac{50 + 60}{2} = 55.0\)[/tex].
- Para el intervalo [tex]\([60 ; 70)\)[/tex], el punto medio [tex]\( x_i \)[/tex] es [tex]\(\frac{60 + 70}{2} = 65.0\)[/tex].
- Para el intervalo [tex]\([70 ; 80]\)[/tex], el punto medio [tex]\( x_i \)[/tex] es [tex]\(\frac{70 + 80}{2} = 75.0\)[/tex].
Llenamos la tabla con estos valores:
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline Pesos & [tex]\( f_1 \)[/tex] & [tex]\( x_i \)[/tex] & [tex]\( x_i \cdot f_1 \)[/tex] \\
\hline [tex]\([30 ; 40)\)[/tex] & 12 & 35.0 & \\
\hline [tex]\([40 ; 50)\)[/tex] & 15 & 45.0 & \\
\hline [tex]\([50 ; 60)\)[/tex] & 8 & 55.0 & \\
\hline [tex]\([60 ; 70)\)[/tex] & 10 & 65.0 & \\
\hline [tex]\([70 ; 80]\)[/tex] & 5 & 75.0 & \\
\hline
\end{tabular}
### 2. Calcular [tex]\( x_i \cdot f_1 \)[/tex] para cada intervalo
Multiplicamos el punto medio [tex]\( x_i \)[/tex] por la frecuencia [tex]\( f_1 \)[/tex]:
- Para el intervalo [tex]\([30 ; 40)\)[/tex]: [tex]\( 35.0 \cdot 12 = 420.0 \)[/tex]
- Para el intervalo [tex]\([40 ; 50)\)[/tex]: [tex]\( 45.0 \cdot 15 = 675.0 \)[/tex]
- Para el intervalo [tex]\([50 ; 60)\)[/tex]: [tex]\( 55.0 \cdot 8 = 440.0 \)[/tex]
- Para el intervalo [tex]\([60 ; 70)\)[/tex]: [tex]\( 65.0 \cdot 10 = 650.0 \)[/tex]
- Para el intervalo [tex]\([70 ; 80]\)[/tex]: [tex]\( 75.0 \cdot 5 = 375.0 \)[/tex]
Llenamos la tabla completa:
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline Pesos & [tex]\( f_1 \)[/tex] & [tex]\( x_i \)[/tex] & [tex]\( x_i \cdot f_1 \)[/tex] \\
\hline [tex]\([30 ; 40)\)[/tex] & 12 & 35.0 & 420.0 \\
\hline [tex]\([40 ; 50)\)[/tex] & 15 & 45.0 & 675.0 \\
\hline [tex]\([50 ; 60)\)[/tex] & 8 & 55.0 & 440.0 \\
\hline [tex]\([60 ; 70)\)[/tex] & 10 & 65.0 & 650.0 \\
\hline [tex]\([70 ; 80]\)[/tex] & 5 & 75.0 & 375.0 \\
\hline
\end{tabular}
### 3. Calcular el total de la frecuencia [tex]\(\sum f_1 = n = 50\)[/tex]
### 4. Calcular la media de los pesos
La media [tex]\( \overline{x} \)[/tex] se calcula como:
[tex]\[ \overline{x} = \frac{\sum (x_i \cdot f_1)}{\sum f_1} \][/tex]
Sumamos todos los valores de [tex]\( x_i \cdot f_1 \)[/tex]:
[tex]\[ \sum (x_i \cdot f_1) = 420.0 + 675.0 + 440.0 + 650.0 + 375.0 = 2560.0 \][/tex]
Ahora calculamos la media:
[tex]\[ \overline{x} = \frac{2560.0}{50} = 51.2 \][/tex]
Así que la tabla completa y la media de los pesos son:
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline Pesos & [tex]\( f_1 \)[/tex] & [tex]\( x_i \)[/tex] & [tex]\( x_i \cdot f_1 \)[/tex] \\
\hline [tex]\([30 ; 40)\)[/tex] & 12 & 35.0 & 420.0 \\
\hline [tex]\([40 ; 50)\)[/tex] & 15 & 45.0 & 675.0 \\
\hline [tex]\([50 ; 60)\)[/tex] & 8 & 55.0 & 440.0 \\
\hline [tex]\([60 ; 70)\)[/tex] & 10 & 65.0 & 650.0 \\
\hline [tex]\([70; 80]\)[/tex] & 5 & 75.0 & 375.0 \\
\hline
\end{tabular}
La media de los pesos es [tex]\( \boxed{51.2} \)[/tex].
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