Para resolver la ecuación [tex]\(\cos(x + y + 30°) \cdot \sec(3y + x - 10°) = 1\)[/tex], sigamos los siguientes pasos:
1. Entender las funciones involucradas: La secante ([tex]\(\sec\)[/tex]) es la función recíproca del coseno, es decir, [tex]\(\sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)}\)[/tex].
2. Reemplazar la secante por la forma recíproca del coseno:
[tex]\[
\cos(x + y + 30°) \cdot \frac{1}{\cos(3y + x - 10°)} = 1
\][/tex]
3. Simplificar la expresión: Multiplicamos ambos lados por [tex]\(\cos(3y + x - 10°)\)[/tex] para eliminar el denominador:
[tex]\[
\cos(x + y + 30°) = \cos(3y + x - 10°)
\][/tex]
4. Usar la propiedad del coseno: Sabemos que [tex]\(\cos(A) = \cos(B)\)[/tex] implica que [tex]\(A = B + 2n\pi\)[/tex] o [tex]\(A = -B + 2n\pi\)[/tex] para cualquier entero [tex]\(n\)[/tex]. Para simplificar, consideraremos solo la primera posibilidad [tex]\(A = B\)[/tex], que es suficiente para encontrar una solución básica.
5. Igualar los ángulos:
[tex]\[
x + y + 30° = 3y + x - 10°
\][/tex]
6. Eliminar los términos comunes en ambos lados:
[tex]\[
30° = 3y - y - 10°
\][/tex]
[tex]\[
30° = 2y - 10°
\][/tex]
7. Resolver para [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[
30° + 10° = 2y
\][/tex]
[tex]\[
40° = 2y
\][/tex]
[tex]\[
y = \frac{40°}{2}
\][/tex]
[tex]\[
y = 20°
\][/tex]
Por lo tanto, el valor de [tex]\(y\)[/tex] que satisface la ecuación es:
[tex]\[
y = 20°
\][/tex]
